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理工数学

スカラー三重積とベクトル三重積

2つのベクトルの積として、内積や外積を定義した。 ここでは、3つのベクトルの積であるスカラー三重積とベクトル三重積について考えていく。   スカラー三重積 3つのベクトル\(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}\)によるスカラー三重積を次 […]

総和規約について

ベクトルやテンソルの演算を行うとき、総和記号を省略すると簡単に記述することができるようになる。 このような記述方法を総和規約(summation convention)という。 以下では総和規約のルールについて紹介し、使い方を解説する。   総和規約 二つのベクトル\(\boldsymbo […]

テンソルの定義とテンソル積について

今後の応用のため、テンソルの概念について簡単に学んでおくことにする。 テンソルという単語自体は様々な分野で出会うことになるだろうが、その概念を正確に理解しようとするとかなりハードルが高い。 ここでは、テンソルとは何かを掘り下げるのではなく、応用のためテンソルの演算について理解することを目的とする。 […]

2段階シンプレックス法の解法と例題

前回の記事でシンプレックス法の基本手順について学んだ。   シンプレックス法を適用するにあたり 等式の制約条件 不等号の向きが反対 \(b_i\)が負 変数に符号の制約がない のような場合、技巧変数\(\nu\)や係数\(M\)を用いて制約条件の書き換えを行った。 このような解法の例として […]

罰金法によるシンプレックス計算の例題

前回の記事でシンプレックス法について解説した。 この中で、等式や不等号が逆向きの場合の制約条件の取り扱いとして罰金法を紹介した。   この記事では、罰金法によるシンプレックス法の問題の解き方を紹介する。   シンプレックス法の手順は以下の通りである。 STEP1 目的変数(ここで […]

シンプレックス法の概要と計算手順をわかりやすく解説

この記事では、線形計画法の代表的な解法であるシンプレックス法について解説する。   線形計画法では、ある制約条件の下で目的関数を最大化または最小化することを考える。 高校数学においても、領域の分野で関数の最大化や最小化という形式で線形計画法の問題が出題されることもある。このときは制約条件を […]

接線・主法線・従法線と曲率・捩率の求め方ー円柱らせんの例

空間曲線の接線ベクトルや主法線ベクトル、従法線ベクトル、曲率および捩率の計算方法を解説する。 各用語について簡単に説明したのち、円柱らせんを用いて具体的に計算してみよう。 用語と定義式 まず、用語と定義の確認をしておく。 媒介変数を\(t\)、\(x,y,z\)方向の基底ベクトルを\(\mathbf […]

行列のランクの求め方と性質

これまでの記事で、ベクトルの一次独立や行列の基本変形、連立方程式の解法について学んできた。 今回は、行列の基本的な特徴量のひとつであるランクについて学ぶ。   行列のランク(行列の階数とも)は、逆行列の存在や連立方程式の解の性質などとも関係が深く、重要な量である。 行列のランクの計算方法と […]

掃き出し法(ガウスの消去法)による連立方程式の解法と逆行列の求め方

連立方程式の解法には、クラメルの公式より実用的な掃き出し法(ガウス・ジョルダンの消去法とも)を用いることが多い。 ここでは、掃き出し法を用いて連立方程式を解く方法、および逆行列を求める方法を解説する。   行列の基本変形について復習し、拡大係数行列の基本変形により解を導く流れを例題を解きな […]

クラメルの公式による連立1次方程式の解法

行列を用いて連立1次方程式を解く方法を考える。 ここでは、クラメルの公式を紹介する。計算量が多いため実用性は高くないが、簡潔で美しい公式なので知っておいて損はない。 より実用的な解法としては、ガウスの消去法(掃き出し法)を別の記事で紹介する。   余因子行列と逆行列 まず、余因子行列により […]