グラム・シュミットの直交化法と正規直交基底
グラム・シュミットの直交化法とは、一次独立なベクトルの組から直交基底ベクトルを機械的につくる手法である。 この記事では、まず正規直交基底について述べ、グラム・シュミットの直交化法を解説する。 さらにグラム・シュミットの直交化法を用いて具体的に正規直交基底の計算をしてみる。 正規直交基底 […]
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理工数学
余因子展開と行列の基本変形による行列式の計算方法
余因子と余因子行列については以前の記事で学んだ。 ややこしい計算をしてまで余因子を計算したのは、行列式や逆行列を求めるときに利用できるからである。 ここでは余因子を用いて行列式を求める方法を説明し、例を用いて具体的に計算してみる。 さらに、行列の基本変形と行列式の値の関係を利用して計算 […]
余因子の計算と余因子行列の作り方
この記事では、余因子の求め方と余因子行列の作り方を解説する。 余因子行列は行列式や逆行列を計算する際に用いられる行列である。 ３次正方行列であればサラスの公式を用いることで行列式を計算することができるが、４次以上の一般の行列に対してはこのような方法は存在しない。 余因子を使うことで、行 […]
サラスの公式による行列式の計算方法
正方行列について定義される行列式は逆行列を求める場合などに用いられる重要な量である。 ２次の行列であればその行列式は容易に計算することができるが、３次以上になると計算量が多く複雑になってしまう。 ここでは、３次正方行列の行列式の求め方を簡単に覚える方法である「サラスの公式」（サラスの方 […]
行列のn乗の計算方法ー４つのパターン
一般に行列の積は計算が煩雑であり、行列の累乗を求めるためには非常に労力がかかってしまう。 しかし、行列が特定の形状をしている場合は比較的簡単に計算することができる。 ここでは、２次正方行列についてn乗計算の４つのパターンを紹介する。 次数が下げられる場合のn乗 \(A^2=kA\)の関係があるとき、 […]
対称行列と反対称行列の性質・分解公式
ここでは対称行列と反対称行列(交代行列)の間に成立する関係式を学ぶ。 まずそれぞれの定義を簡単に復習する。 その後、これらの性質として反対称行列の対角成分、対称行列かつ反対称行列である行列、任意の正方行列を対称行列と反対称行列の和に分解する公式について証明していく。 定義の確認 正方行列\(A\)、 […]
特別な行列の名前と定義・性質の一覧
この記事では、特別な名前がつけられた行列をまとめています。 線形代数で取り扱う行列には、特別な役割や性質を持つものが数多く登場します。 それぞれの行列の定義や特徴を整理して理解しておきましょう。 正方行列（square matrix） 正方行列とは、行と列の数が等しい行列のことをいう。 \(n \t […]
内積の定義と正値性・対称性・線形性について
内積の復習 二つの平面ベクトル\(\boldsymbol{a}，\boldsymbol{b}\)があるとき、これらの内積は次式で与えられることを高校数学で学んだ。 $$\boldsymbol{a}・\boldsymbol{b}=|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|\cos […]
ラプラス変換による偏微分方程式の解法
ラプラス変換を用いて、偏微分方程式を解くことができる。 常微分方程式の解法については以下の記事を参照 $$\frac{\partial}{\partial x}y(x,t)=2\frac{\partial}{\partial t}y(x,t)+y(x,t)$$ を解け。ただし、\(y( […]
各種関数のラプラス変換一覧（導出付き）
ここでは、主な関数のラプラス変換を計算する。簡単な導出も付けているので、参考にどうぞ。 初等関数：べき関数、指数関数、三角関数、双曲線関数、対数関数 特殊関数：デルタ関数、ステップ関数、誤差関数、第1種ベッセル関数 その他：微分、積分、移動、周期、畳み込み 初等関数のラプラス変換 べき関数 (\(f […]