断面二次モーメントと断面係数

断面一次モーメント(面積モーメント)につづき、断面二次モーメント(慣性モーメント)について学んでいこう。

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材料力学 曲げ

今後も頻繁に登場する考え方なので、しっかりと理解しておきたい。

断面二次モーメント

断面二次モーメントとは、曲げに対する抵抗の大きさを表し、形状や大きさによって変化する量である。

断面二次モーメントは以下のように定義される。

 

\(y^2dA, x^2dA\)を、\(x,y\)軸に関する慣性モーメントという。

これを断面全体について積分したものを、その断面の\(x,y\)軸に関する断面二次モーメントといい

$$I_x=\int y^2dA , I_y=\int x^2dA$$

で表す。

断面二次モーメントの性質

図心を通る軸に関する断面二次モーメントについての性質を紹介する。

 

図心を\(C\)とし、これを通る軸を\(z\)軸とする。\(z\)軸と平行かつ同一平面上にある軸を\(x\)軸とする。

\(x\)軸に関する断面二次モーメント\(I_x\)と\(z\)軸に関する断面二次モーメント\(I_z\)には

$$I_x=I_z+Ay_0^2$$

の関係が成り立つ。ここで、\(A\)は断面積、\(y_0\)は軸間の距離である。

(証明)

\(z\)軸から距離\(y\)の位置に微小面積\(dA\)をとる。

断面二次モーメント 軸

このとき

\begin{align*}
I_x&=\int (y+y_0)^2dA \\
&=\int (y^2+2yy_0+y_0^2)dA \\
&=\int y^2dA+2y_0\int ydA+y_0^2\int dA \\
&=I_z+y_0^2A
\end{align*}

となる。図心を通る軸に関する断面一次モーメントはゼロになることに注意。

(証明終)

長方形断面の例

具体的に断面二次モーメントを求めてみよう。簡単な例として長方形断面を考える。

高さ\(h\)、幅\(b\)の長方形断面において、図心\(C\)を通り、底辺\(x\)軸に平行な軸\(z\)に関する断面二次モーメントを\(I_z\)とする。

断面二次モーメント 長方形

\(z\)軸からの距離が\(y\)の位置に幅\(dy\)の微小帯要素\(dA\)をとると

\begin{align*}
I_z&=\int y^2dA=2\int_{0}^{\frac{h}{2}} y^2bdy \\
&=2b\int_{0}^{\frac{h}{2}} y^2dy=2b・\frac{1}{3}\left(\frac{h}{2}\right)^3 \\
&=\frac{bh^3}{12}
\end{align*}

となる。

同様にして、\(y\)軸に関する断面二次モーメント\(I_y\)は

$$I_y=\frac{hb^3}{12}$$

また、\(x\)軸については上で述べた性質を利用して

$$I_x=I_z+A\left(\frac{h}{2}\right)^2=\frac{bh^3}{3}$$

となる。

断面二次半径

断面二次モーメントから求められる量のひとつに、断面二次半径(回転半径)がある。

後ほど座屈の計算をするときなどに利用するため、ここで定義を述べておく。

 

断面二次半径\(k\)は、次式で与えられる。

$$k=\sqrt{\frac{I}{A}}$$

\(I\)には具体的に各軸まわりの断面二次モーメントを用いる。

断面係数

断面の図心を通る軸\(z\)に対する断面二次モーメント\(I_z\)を、軸から外周までの距離で割った値を断面係数といい、\(Z\)で表す。

例えば、三角形断面における断面係数は次のように与えられる。

断面係数

$$Z_1=\frac{I_z}{e_1}, Z_2=\frac{I_z}{e_2}$$

 

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