断面二次極モーメント

この記事では、断面二次極モーメントについて解説する。

これとよく似た量である、断面二次モーメントについてはすでに述べた。

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材料力学 曲げ

断面二次モーメントは曲げに関する量、断面二次極モーメントはねじりに関する量である。

断面二次極モーメント

断面内の1点\(O\)を通り、その面に垂直な軸に関する慣性モーメントを断面二次極モーメントまたは断面慣性極モーメントといい、\(O\)をと呼ぶ。

断面二次極モーメント 図

極\(O\)を通り、互いに垂直な軸\(Ox,Oy\)をとる。

断面内の微小面積\(dA\)の座標を\((x,y)\)、\(O\)からの距離を\(r\)とすると、断面二次極モーメントは

$$I_p=\int r^2dA=\int (x^2+y^2)dA=I_y+I_x$$

となる。

すなわち、慣性極モーメントは、直交する二つの軸に関する慣性モーメントの和に等しい。

計算例

簡単な図形の断面二次極モーメントを求めてみよう。

長方形の断面二次極モーメント

長方形断面の断面二次極モーメントを求める。

長方形 断面二次極モーメント

\(x,y\)軸まわりの断面二次モーメントは、それぞれ

$$I_x=\frac{bh^3}{12}$$

$$I_y=\frac{hb^3}{12}$$

であった。

よって、断面二次極モーメントは

$$I_p=I_x+I_y=\frac{bh(h^2+b^2)}{12}$$

となる。

円の断面二次極モーメント

円形断面の断面二次極モーメントを求める。

円 断面二次極モーメント

直径\(d\)の円を考える。図のように、半径\(r\)の位置に幅\(dr\)の微小円環をとると、この円環の面積は

$$dA=2\pi rdr$$

で与えられる。よって、断面二次極モーメントは

\begin{align*}
I_p&=\int r^2dA=\int_0^{d/2}r^2・2\pi rdr \\
&=2\pi\int_0^{d/2}r^3dr=2\pi・\frac{1}{4}\left(\frac{d}{2}\right)^4 \\
&=\frac{\pi d^4}{32}
\end{align*}

となる。

 

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