片持ちはりのたわみ計算

ここでは、具体的なはりについてたわみの計算をしてみよう。

第1回は「片持ちはり」を扱う。

たわみの方程式については前回の記事を参照のこと。

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材料力学 曲げ

片持ちはりのたわみ

集中荷重を受ける場合

自由端に集中荷重を受ける片持ちはりを考える。

片持ちはりのたわみ

図のように、長さ\(l\)の片持ちはりの自由端\(A\)に集中荷重\(W\)が作用しているとする。

\(A\)から\(x\)の位置の断面に働く曲げモーメントは

$$M=Wx$$

である。ただし、\(y\)軸を下向きにとった場合は負符号になる。

 

たわみの方程式は

$$\frac{d^2y}{dx^2}=-\frac{M}{EI_z}=-\frac{W}{EI_z}x$$

ここで、\(E\)はヤング率、\(I_z\)は断面二次モーメントである。

上式を\(x\)について積分して

$$\frac{dy}{dx}=-\frac{W}{EI_z}\left(\frac{x^2}{2}+C_1\right)$$

もう一度\(x\)について積分して

$$y=-\frac{W}{EI_z}\left(\frac{x^3}{6}+C_1x+C_2\right)$$

となる。

境界条件:\(x=l\)で\(dy/dx=0\)および\(y=0\)なので

$$C_1=-\frac{l^2}{2},C_2=\frac{l^3}{3}$$

となる。したがって

\begin{align*}
\frac{dy}{dx}&=-\frac{W}{2EI_z}(x^2-l^2)=\frac{W}{2EI_z}(l^2-x^2) \\
y&=-\frac{W}{6EI_z}(x^3-3l^2x+2l^3)
\end{align*}

となる。これがたわみ角およびたわみを与える式である。

最大たわみ角および最大たわみは\(x=0\)の自由端で生じる。

\begin{align*}
\left(\frac{dy}{dx}\right)_{max}&=\theta=\frac{Wl^2}{2EI_z} \\
y_{max}&=\delta=-\frac{Wl^3}{3EI_z}
\end{align*}

等分布荷重を受ける場合

分布荷重の単位長さ当たりの大きさを\(w\)とすると、\(x\)の位置に生じる曲げモーメントは

$$M=wx・\frac{x}{2}=\frac{1}{2}wx^2$$

で与えられる。これは、荷重\(wx\)が\(x\)の部分の中央に集中して作用すると考えればよい。

 

集中荷重の場合と同様に、たわみの方程式に代入して解けばよい。

$$\frac{d^2y}{dx^2}=-\frac{M}{EI_z}=-\frac{w}{2EI_z}x^2$$

\(x\)について積分して

$$\frac{dy}{dx}=-\frac{w}{2EI_z}\left(\frac{x^3}{3}+C_1\right)$$

$$y=-\frac{w}{2EI_z}\left(\frac{x^4}{12}+C_1x+C_2\right)$$

となる。

\(x=l\)で\(dy/dx=0\)および\(y=0\)なので

$$C_1=-\frac{l^3}{3},C_2=\frac{l^4}{4}$$

となる。したがって

\begin{align*}
\frac{dy}{dx}&=\frac{w}{6EI_z}(l^3-x^3) \\
y&=-\frac{w}{24EI_z}(x^4-4l^3x+3l^4)
\end{align*}

最大たわみ角および最大たわみは\(x=0\)の自由端で生じる。

\begin{align*}
\theta&=\frac{wl^3}{6EI_z} \\
\delta&=-\frac{wl^4}{3EI_z}
\end{align*}

 

まとめページ

曲げ はりの種類と荷重の分類 はりのせん断力と曲げモーメント 断面一次モーメント(面積モーメント)と図心 断面二次モーメントと断面係数    […]

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