空間曲線の接線ベクトルや主法線ベクトル、従法線ベクトル、曲率および捩率の計算方法を解説する。
各用語について簡単に説明したのち、円柱らせんを用いて具体的に計算してみよう。
用語と定義式
まず、用語と定義の確認をしておく。
媒介変数を\(t\)、\(x,y,z\)方向の基底ベクトルを\(\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}\)としたとき、曲線上の任意の点の位置ベクトルは
$$\mathbf{r}=x(t)\mathbf{i}+y(t)\mathbf{j}+z(t)\mathbf{k}$$
で与えられる。
弧長
\(t=0\)のときを基準にした弧長\(s\)をとると
$$s=\int_0^t\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2+\left(\frac{dz}{dt}\right)^2}dt=\int_0^t\left|\frac{d\mathbf{r}}{dt}\right|dt$$
で与えられる。
接線ベクトル
接線ベクトル(速度ベクトル)は、位置ベクトルをパラメータ\(t\)で微分して求められる。
また、単位接線ベクトル\(\mathbf{t}\)は弧長\(s\)を用いて
$$\mathbf{t}=\frac{d\mathbf{r}}{ds}=\frac{d\mathbf{r}}{dt}\frac{dt}{ds}=\frac{\mathbf{r}’}{|\mathbf{r}’|}$$
で与えられる。
曲率
曲率ベクトル\(\mathbf{k}\)は、接線ベクトルを微分することで求められる。
$$\mathbf{k}=\frac{d^2\mathbf{r}}{ds^2}$$
曲率\(\kappa\)は、曲率ベクトルの絶対値
$$\kappa=|\mathbf{k}|=\left|\frac{d^2\mathbf{r}}{ds^2}\right|$$
として与えられる。
曲率ベクトルは、点\(s\)における曲線の法線ベクトルであり、接線ベクトルに直交する。
主法線ベクトル
曲率ベクトル\(\mathbf{k}\)を正規化して得られる単位法線ベクトルを主法線ベクトルといい、\(\mathbf{n}\)で表す。
$$\mathbf{n}=\frac{\mathbf{k}}{\kappa}$$
従法線ベクトル
単位接線ベクトル\(\mathbf{t}\)と主法線ベクトル\(\mathbf{n}\)の外積で与えられるベクトルを、従法線ベクトルといい、\(\mathbf{b}\)で表す。
$$\mathbf{b}=\mathbf{t}×\mathbf{n}$$
捩率
主法線ベクトル\(\mathbf{n}\)と従法線ベクトル\(\mathbf{b}\)から、捩率(れいりつ)を求めることができる。
$$\tau=-\frac{d\mathbf{b}}{ds}・\mathbf{n}$$
捩率は平面曲線における曲率の空間版に相当する。
フレネ(Frenet)標構
単位接線ベクトル\(\mathbf{t}\)、主法線ベクトル\(\mathbf{n}\)、従法線ベクトル\(\mathbf{b}\)でつくられる正規直交基底を、フレネ標構という。
円柱らせんの例題
空間曲線
$$\mathbf{r}=a\cos t\mathbf{i}+a\sin t\mathbf{j}+ct\mathbf{k} (a,cは定数、a\gt0)$$
で表される曲線を、円柱らせんという。
この曲線の単位接線ベクトル、単位主法線ベクトル、単位従法線ベクトル、曲率および捩率を求めよ。
(解)
$$\frac{d\mathbf{r}}{dt}=-a\sin t\mathbf{i}+a\cos t\mathbf{j}+c\mathbf{k}$$
$$∴\frac{d\mathbf{r}}{dt}・\frac{d\mathbf{r}}{dt}=a^2+c^2$$
\(t=0\)に対応する点から測定した曲線の長さを\(s\)とすると
$$s=\int_0^t\sqrt{\frac{d\mathbf{r}}{dt}・\frac{d\mathbf{r}}{dt}}dt=\int_0^t\sqrt{a^2+c^2}dt=\sqrt{a^2+c^2}t$$
$$∴t=\frac{s}{\sqrt{a^2+c^2}} ，\frac{dt}{ds}=\frac{1}{\sqrt{a^2+c^2}}$$
よって、単位接線ベクトルは
\[\begin{align*}
\mathbf{t}&=\frac{d\mathbf{r}}{ds}=\frac{d\mathbf{r}}{dt}\frac{dt}{ds} \\
&=\frac{1}{\sqrt{a^2+c^2}}\left(-a\sin t\mathbf{i}+a\cos t\mathbf{j}+c\mathbf{k}\right)
\end{align*}\]
となる。また
\[\begin{align*}
\frac{d^2\mathbf{r}}{ds^2}&=\frac{d\mathbf{t}}{ds}=\frac{d\mathbf{t}}{dt}\frac{dt}{ds} \\
&=\frac{1}{a^2+c^2}\left(-a\cos t\mathbf{i}-a\sin t\mathbf{j}\right)
\end{align*}\]
となるから、曲率は
$$\kappa=\left|\frac{d^2\mathbf{r}}{ds^2}\right|=\sqrt{\left(\frac{-a\cos t}{a^2+c^2}\right)^2+\left(\frac{-a\sin t}{a^2+c^2}\right)^2}=\frac{a}{a^2+c^2}$$
となる。
主法線ベクトルと従法線ベクトルは、それぞれ
$$\mathbf{n}=\frac{1}{\kappa}\frac{d^2\mathbf{r}}{ds^2}=-\cos t\mathbf{i}-\sin t\mathbf{j}$$
$$\mathbf{b}=\mathbf{t}×\mathbf{n}=\frac{1}{\sqrt{a^2+c^2}}\left(c\sin t\mathbf{i}-c\cos t\mathbf{j}+a\mathbf{k}\right)$$
となる。
また、捩率は
$$\frac{d\mathbf{b}}{ds}=\frac{d\mathbf{b}}{dt}\frac{dt}{ds}=\frac{1}{a^2+c^2}\left(c\cos t\mathbf{i}+c\sin t\mathbf{j}\right)=-\frac{c}{a^2+c^2}\mathbf{n}$$
$$∴\tau=-\frac{d\mathbf{b}}{ds}・\mathbf{n}=\frac{c}{a^2+c^2}$$
となる。
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