フーリエ変換・逆フーリエ変換の定義と導出【理工数学】

フーリエ変換について学んでいきましょう。

フーリエ変換とフーリエ級数展開の違い

三角関数によるフーリエ級数展開(参照①)やこれを拡張した複素フーリエ級数展開(参照②)は、そもそも周期Tをもつ周期関数をcos(2πnt/T)とsin(2πnt/T)またはexp(i2πnt/T)を用いて級数展開するものであった。

フーリエ変換は、このフーリエ級数展開を拡張し、周期を持たない非周期関数へも適用できるようにしたものである。

フーリエ変換の定義

フーリエ変換は次式で定義される。

$$G(f)=\int_{-\infty}^{\infty}g(t)e^{-2\pi ift}dt :フーリエ変換$$

$$g(t)=\int_{-\infty}^{\infty}G(f)e^{2\pi ift}df :逆フーリエ変換$$

導出

複素フーリエ級数展開において、周期Tに対してT→∞の極限をとることでフーリエ変換を導くことができる。

まず、周期Tの周期関数g(t)に対して

$$g(t)=\sum_{-\infty}^{\infty}c_ne^{i\frac{2\pi nt}{T}}$$

$$c_n=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}g(t)e^{-i\frac{2\pi nt}{T}}dt$$

であった。これらからc_nを消去して次式を得る。

$$g(t)=\sum_{-\infty}^{\infty}\left[\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}g(t’)e^{-i\frac{2\pi nt’}{T}}dt’\right]e^{i\frac{2\pi nt}{T}}$$

ここで、n/Tを離散的な周波数とみて

$$f_n\equiv\frac{n}{T}$$

とおく。さらに、1/Tは離散的な周波数の刻み幅であるので

$$\Delta f=\frac{1}{T}$$

とおく。すると、

\[
\begin{align*}
g(t) & =\sum_{-\infty}^{\infty}\left[\Delta f\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}g(t’)e^{-2\pi if_nt’}dt’\right]e^{2\pi if_nt} \\
& =\sum_{-\infty}^{\infty}\left[\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}g(t’)e^{-2\pi if_nt’}dt’\right]e^{2\pi if_nt}\Delta f
\end{align*}
\]

となる。ここでT→∞の極限をとると、Δfは無限に小さくなり、微小量dfになる。そのためΣΔfは∫dfで置き換えることができる。

また、離散的な周波数f_n=nΔfは連続的な値をとるため、連続な量fで置き換えることができる。したがって、

$$g(t)=\int_{-\infty}^{\infty}\left[\int_{-\infty}^{\infty}g(t’)e^{-2\pi ift’}dt’\right]e^{2\pi ift}df$$

が導かれる。[ ]の中身をフーリエ変換としてG(f)と置き換えることで

$$G(f)=\int_{-\infty}^{\infty}g(t)e^{-2\pi ift}dt$$

$$g(t)=\int_{-\infty}^{\infty}G(f)e^{2\pi ift}df$$

を得る。

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