理工数学

定積分③置換積分法と部分積分法の計算例ーウォリス(ワリス)の公式の導出【理工数学】

ここでは定積分の具体的な計算例を示していきます。 さらにウォリスの公式を与えます。この公式は、スターリングの公式の証明にも用いられる式です。 置換積分法 $$f(x)は[a,b]で連続、\phi (t)は[\alpha, \beta]または[\beta, \alpha]でC^1級$$ $$かつa\l […]

定積分①定積分の定義と積分可能性の判定に関する諸定理【理工数学】

この記事から数回にわたって、定積分について学んでいきます。 不定積分についてはこちら　⇒　不定積分の定義と公式、有理関数・三角関数・無理関数の不定積分 定積分 リーマン和 定積分の始まりは、「細かく分けて足し合わせる」ことです。計算も大切ですが、そもそもの考え方を理解しておきましょう。 $$f(x) […]

複素数の基礎～複素平面と極形式・複素数値関数の微積分【理工数学】

微分方程式を解く上で、複素数(complex number)を用いる場面も多くあります。なのでここで複素数の基礎について学んでおきましょう。 前回までの記事：1階線形微分方程式、2階線形微分方程式 複素数の基礎 $$二つの実数x, yに対して、z=x+iyと表される数zを複素数と呼ぶ$$ $$ここで […]

2階線形微分方程式の解法

1階線形微分方程式に続き、2階の微分方程式について考えていきたいと思います。 一般に、2階以上の微分方程式について積分を使って解を求める公式は存在しません。なのでここでは解の存在や性質に関して論じることにします。 2階線形微分方程式 $$y^{\prime\prime}+p_1(x)y’ […]

平面上の曲線と曲率の公式

前回は空間中の曲線について曲率を定義していきました。 しかし、通常曲率を求める対象は空間曲線ではなく、平面上の曲線すなわち\(y=f(x)\)の関数であることが多いと思います。 今回は平面上の関数について曲率を求める式を導出し、具体的な計算例を示していきます。 平面上の曲線と曲率 まず空間曲線を平面 […]

曲率と曲率半径の求め方

前回は空間曲線をベクトルによって表記することを学びました。 この記事では、曲線の特徴量である曲率と曲率半径について学習していきます。 曲率とはなにか 日常生活ではあまり聞きなれない言葉かもしれませんが、私たちの生活の中で曲率(または曲率半径)は多く活用されています。 たとえば、道路のカーブやジェット […]

曲線の数学①空間曲線のベクトル表示とベクトルの微分、物理的意味合いについて【理工数学】

今回から数回にわたって、曲線についての学習をしていきます。 第一回のこの記事では、まず空間中の曲線をベクトルによって表示し、その微分の定義と意味合い、ベクトルの微分公式について書いていきます。 空間曲線の表し方 $$閉区間[\alpha ,\beta]上の連続関数x=x(t), y=y(t), z= […]

ロピタルの定理の証明と例題、使うときの注意点

前回の記事では、不定形の極限とコーシーの平均値の定理について学習しました。 今回は、不定形の極限を簡単に求める方法「ロピタルの定理(l’Hôpital’s rule)」の証明と例題を用いた使い方、注意点について学んでいきます。 ロピタルの定理 先に、ロピタルの定理を述べておき […]

不定形の極限①コーシーの平均値の定理の証明【理工数学】

高校数学の範囲で極限を計算しようとすると、0/0などの形になってしまいうまく計算できないことがありました。こういう場合には、式変形などを駆使し工夫して計算する必要がありますが、慣れるまでは結構難しいと思います。(例えば、sinx/xの極限値 ～はさみうちの原理による計算方法を解説【理工数学】) 実は […]

ロルの定理とラグランジュの平均値定理の証明

今回は、微分で登場する「平均値の定理」について学習していきます。 「微分の計算はよくわかったけど、平均値の定理って意味合いがよくわからないなあ」「これ何に使うの？」と思う人も少なくないと思います。そこでこの記事では、平均値の定理の意味合いとその証明をしていきます。   なお、ここでいう平均 […]