定積分③置換積分法と部分積分法の計算例ーウォリス(ワリス)の公式の導出【理工数学】

ここでは定積分の具体的な計算例を示していきます。

さらにウォリスの公式を与えます。この公式は、スターリングの公式の証明にも用いられる式です。

置換積分法

$$f(x)は[a,b]で連続、\phi (t)は[\alpha, \beta]または[\beta, \alpha]でC^1級$$

$$かつa\le \phi (t)\le b、\phi (\alpha)=a、\phi (\beta)=bとすると、$$

$$\int_a^b f(x)dx=\int_{\alpha}^{\beta} f(\phi (t))\phi'(t)dt$$

部分積分法

$$f(x)は[a,b]でC^1級、g(x)は[a,b]で連続とする。g(x)の不定積分をG(x)とすると、$$

$$\int_a^b f(x)g(x)dx=[f(x)G(x)]_a^b-\int_a^b f'(x)G(x)dx$$

$$=\left[ f(x)\int_a^x g(t)dt \right]_a^b-\int_a^b f'(x)\left( \int_a^x g(t)dt \right) dx$$

 

例題を示します。

例題

$$I_n=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^n xdx (n\ge 2)$$

部分積分法により、n≧2のとき

$$I_n=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n-1}x\sin xdx=[-\cos x\sin^{n-1}x]_0^{\frac{\pi}{2}}+(n-1)\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n-2}x\cos^2xdx$$

$$(n-1)\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n-2}x(1-\sin^2 x)dx=(n-1)(I_{n-2}-I_n)$$

よって、次の漸化式を得る。

$$I_n=\frac{n-1}{n}I_{n-2} (n\ge 2)$$

$$I_0=\frac{\pi}{2}、I_1=1より$$

\[
I_n=\left\{
\begin{array}{l}
\frac{n-1}{n}・\frac{n-3}{n-2}・…・\frac{1}{2}・\frac{\pi}{2} &(n:偶数) \\
\frac{n-1}{n}・\frac{n-3}{n-2}・…・\frac{2}{3} &(n:奇数)
\end{array}
\right.
\]

ウォリスの公式

二重階乗

$$n\in \mathbb{N}に対して、n!!=n・(n-2)・…・3・1(n:奇数)$$$$n!!=n・(n-2)・…・4・2(n:偶数)とする。これを二重階乗と呼ぶ$$

 

通常の階乗(!)であれば1ずつ小さい数を掛け合わせていきますが、2ずつ小さい数を掛け合わせていくことを二重階乗とよび「!!」で表します。

 

これを用いると、先ほどの例題の答えは次のように表されます。

\[
I_n=\left\{
\begin{array}{l}
\frac{(n-1)!!}{n!!}\frac{\pi}{2} &(n:偶数) \\
\frac{(n-1)!!}{n!!} &(n:奇数)
\end{array}
\right.
\]

$$\left( 0,\frac{\pi}{2} \right)で\sin^{2n+1}x<\sin^{2n}x<\sin^{2n-1}xであるから、I_{2n+1}<I_{2n}<I_{2n-1}$$

ゆえに、上記の結果より

$$\frac{(2n)!!}{(2n+1)!!}<\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\frac{\pi}{2}<\frac{(2n-2)!!}{(2n-1)!!}$$

よって

$$\frac{1}{2n+1}・\frac{(2n)!!}{(2n-1)!!}<\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\frac{\pi}{2}<\frac{1}{2n}・\frac{(2n)!!}{(2n-1)!!}$$

$$\frac{1}{2n+1}・\frac{2}{\pi}<\left(\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\right)^2<\frac{1}{2n}・\frac{2}{\pi}$$

$$\frac{2}{\pi}=\lim_{n\to\infty} 2n・\left(\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\right)^2$$

したがって、

$$\sqrt{\pi}=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}・\frac{(2n)!!}{(2n-1)!!}=\lim_{n\to\infty}\frac{2^{2n}}{\sqrt{n}}・\frac{(n!)^2}{(2n)!}$$

これを、Wallisの公式といいます。

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