微分積分学

ロピタルの定理の証明と例題、使うときの注意点

前回の記事では、不定形の極限とコーシーの平均値の定理について学習しました。 今回は、不定形の極限を簡単に求める方法「ロピタルの定理(l’Hôpital’s rule)」の証明と例題を用いた使い方、注意点について学んでいきます。 ロピタルの定理 先に、ロピタルの定理を述べておき […]

テイラー展開とマクローリン展開

三角関数や指数関数、対数関数などを多項式の和(級数)の形で表す方法として、テイラー展開またはマクローリン展開があります。 これは前回までに学習したテイラーの定理を利用したものです。 関数の級数展開 「関数を展開する」とは、簡単な多項式を足し合わせることで元の関数の近似値を計算することです。 関数の\ […]

テイラーの定理の証明と応用

前回は、ロルの定理と平均値の定理について学びました。 今回は、関数を級数の形で表現する方法(テイラー展開)を導いていくための準備として、テイラーの定理(Taylor’s theorem)とその証明について紹介していきます。 また、テイラーの定理を応用してネイピア数eが無理数であることを証 […]

ロルの定理とラグランジュの平均値定理の証明

今回は、微分で登場する「平均値の定理」について学習していきます。 「微分の計算はよくわかったけど、平均値の定理って意味合いがよくわからないなあ」「これ何に使うの？」と思う人も少なくないと思います。そこでこの記事では、平均値の定理の意味合いとその証明をしていきます。   なお、ここでいう平均 […]

ライプニッツの公式の証明と計算例

ふたつの関数の積の導関数を計算したいときに便利なアイテムとして、ライプニッツの公式(ライプニッツ則)があります。 高校数学では、微分の公式として次のような積の法則 $$(f・g)’=f’・g+f・g’$$ を習ったと思います。今回は、これをn階微分に拡張した形を紹 […]

sinx/xの極限値 ～はさみうちの原理による計算方法を解説

はさみうちの原理を利用した極限値の計算の有名な例である、 $$\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}$$ の求め方を解説していきます。   まず、下図のような状態を考えます。 ∠OAT\(=\pi/2\)、∠AOT\(=x\) \((0\lt x\lt \pi/2)\ […]

数列の収束・発散とコーシーの収束判定

今回は、数列の収束・発散に関する定義とその記法について学習していきます。 数列とその表し方 数列(sequence)とは、読んで字のごとく「数を列のように並べたもの」のことです。たとえば、自然数を小さいほうから順に並べてできる $$1, 2, 3, 4, \cdots$$ は数列となります。数列を構 […]

アルキメデスの原理と実数の稠密性

前回までの記事・・・実数の性質①　実数の性質② 前回までに学習した実数の性質を使って、さらにふたつの重要な性質を導いていきます。 (D)アルキメデスの原理 自然数全体の集合\(\mathbb{N}\)は上に有界ではない   (証明) \(\mathbb{N}\)が上に有界であるとすると、上 […]

有界と上限・下限の概念を解説

前回の記事では、実数の四則演算と大小関係に関する話をしました。これらふたつの性質は、有理数においても成立します。 今回は、有理数では成立しない実数に固有の性質について紹介していきます。まずは準備として、「有界」という概念から始めます。 有界と最大値・最小値 \(\mathbb{R}\)の部分集合\( […]

実数の四則演算と大小関係

実数には様々な性質が成り立ちます。ここでは、二つの実数の間に成立する簡単な性質から学習していきましょう。 (A)四則演算 \(a, b\in \mathbb{R}\)に対して \(a+b(和)\), \(a-b(差)\), \(ab(積)\), \(b/a(a\not =0, 商)\) が\(\ma […]