テイラーの定理の証明と応用

前回は、ロルの定理と平均値の定理について学びました。

今回は、関数を級数の形で表現する方法(テイラー展開)を導いていくための準備として、テイラーの定理(Taylor’s theorem)とその証明について紹介していきます。

また、テイラーの定理を応用してネイピア数eが無理数であることを証明していきます。

 

テイラーの定理の証明の方法は複数ありますが、今回はロルの定理を使います。ロルの定理については前回の記事を参照ください。

テイラーの定理と証明

関数\(f(x)\)は閉区間\([a,b]\)で\(n\)回微分可能であるとする。このとき、

$$f(b)=f(a)+\frac{f'(a)}{1!}(b-a)+\frac{f”(a)}{2!}(b-a)^2+…+\frac{f^{(n-1)}(a)}{(n-1)!}(b-a)^{n-1}+R_n$$

とおくと、\(R_n=\frac{f^{n}(c)}{n!}(b-a)^n (a<c<b)\) をみたす\(c\)が存在する。

この\(R_n\)のことを、ラグランジュの剰余項と呼びます。

 

(証明)

$$\phi (x)=\sum_{k=0}^{n-1} f^{(k)}(x) \frac{(b-x)^k}{k!}+R_n \frac{(b-x)^n}{(b-a)^n}$$

とおくと、\(\phi (a)=\phi (b)=f(b)\)である。ロルの定理から、\(\phi^{\prime}(c)=0\)をみたす\(c (a<c<b)\)が存在する。

$$\phi^{\prime}(x)=f'(x)+\sum_{k=1}^{n-1} \left( f^{(k+1)}(x) \frac{(b-x)^k}{k!} – f^{(k)}(x) \frac{(b-x)^{k-1}}{(k-1)!} \right)-R_n \frac{n(b-x)^{n-1}}{(b-a)^n}$$

ここで、\(\displaystyle{\sum}\)の部分 を計算すると\(f^{(n)}(x) \displaystyle{\frac{(b-x)^{n-1}}{(n-1)!}}-f'(x)\)となるので、

$$\phi^{\prime}(c)=f^{(n)}(c) \frac{(b-c)^{n-1}}{(n-1)!}-R_n \frac{n(b-c)^{n-1}}{(b-a)^n}=0$$

したがって、ラグランジュの剰余項

$$R_n=\frac{f^{n}(c)}{n!}(b-a)^n$$

を得る。

(証明終)

 

テイラーの定理による関数の表示

テイラーの定理は、関数\(f(x)\)が\(n\)回微分可能である区間\([a,b]\)における値\(f(a),f(b)\)についての関係式として与えられました。

定数についての式のままだと使い勝手があまりよくないので、\(f(x)\)についての関係式に書き換えます。

\(f(x)\)が\(x=a\)を含む区間で\(n\)回微分可能であるとする。このとき、区間内の\(x\)に対して

$$f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f”(a)}{2!}(x-a)^2+…+\frac{f^{(n-1)}(a)}{(n-1)!}(x-a)^{n-1}+R_n$$

とおくと、

$$R_n=\frac{(x-a)^n}{n!}f^{(n)}(a+\theta (x-a)) または R_n=\frac{(1-\theta)^{n-1}(x-a)^n}{(n-1)!}f^{(n)}(a+\theta (x-a)) (0<\theta<1)$$

と書き表すことができる。

例:exp(x)の近似

\(f(x)=e^x\)に対して、\(a=0\)とすると

$$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+…+\frac{x^n}{n!}+\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}e^{\theta x} (0<\theta<1)$$

と書くことができます。\(x=1\)とすれば

$$e=1+1+\frac{1}{2!}+…+\frac{1}{n!}+\frac{e^{\theta}}{(n+1)!} (0<\theta<1)$$

となります。

 

上式から、ネイピア数eの近似値を考えることができます。

$$e\simeq 2+\frac{1}{2!}+…+\frac{1}{n!}$$

とすると、このときの誤差は

$$\frac{e^{\theta}}{(n+1)!} < \frac{e}{(n+1)!} < \frac{3}{(n+1)!}$$

より小さいことが分かります。

\(n\to\infty\)とすると、誤差は限りなく0に近づきます。

 

eが無理数であることの証明

有理数・無理数についてはこの記事で解説しています。

 

上の近似式を使って、ネイピア数が無理数であることを証明することができます。

(証明)

\(e\)が有理数であるとすると、\(e=\frac{m}{n}\)の形で書くことができる。先の式より

$$e=1+1+\frac{1}{2!}+…+\frac{1}{n!}+\frac{e^{\theta}}{(n+1)!}=\frac{m}{n}$$

上式の両辺に\(n!\)をかけて整理すると、

$$\frac{n!e^{\theta}}{(n+1)!}=\frac{e^{\theta}}{n+1}$$

が正の整数でなくてはならない。

$$1\le \frac{e^{\theta}}{n+1} < \frac{3}{n+1}$$

より、\(n+1<3\)すなわち\(n=1\)である。

\(n=1\)のとき、\(e\)は整数となるが、これは\(2<e<3\)であることに矛盾している。

したがって\(e\)は有理数でなく無理数である。

(証明終)

 

テイラーの定理からの派生

コーシーの剰余項

先の証明で与えた\(\phi (x)\)の最後の項を

$$R_n \frac{b-x}{b-a}$$

としても\(\phi (a)=\phi (b)=f(b)\)である。

すなわち、この場合にも\(\phi^{\prime}(c)=0\)をみたす\(c (a<c<b)\)が存在し、

$$R_n=\frac{f^{n}(c)}{(n-1)!}(b-c)^{n-1}(b-a)$$

となる。これを、コーシーの剰余項と呼ぶ。

cの別表記

\(a>b\)のときも先の証明は成り立つ。\(c\)が\(a,b\)の大小と関係なく\(a\)と\(b\)の間に存在するということは

$$c=a+\theta (b-a) (0<\theta <1)$$

と書き表すことができるということである。

 

まとめページ

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