平板間を流れる平行流の速度分布

流体力学

距離hだけ離れた2枚の固定平板がある。この平板の間を平行に流れる層流の速度分布、最大速度、単位質量当たりの流量、平均流速およびせん断応力を求めよ。

このような流れを、二次元のポアズイユ流れといいます。

(解)

$$\frac{\partial u}{\partial t}+u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial y}=F_x-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x}+\nu\left(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}\right)$$

$$\frac{\partial v}{\partial t}+u\frac{\partial v}{\partial x}+v\frac{\partial v}{\partial y}=F_y-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial y}+\nu\left(\frac{\partial^2 v}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 v}{\partial y^2}\right)$$

で与えられる。

いま、平行流なので$v=0$である。定常・非圧縮流れの連続方程式より

$$\frac{\partial u}{\partial x}=0$$

$$u=u(y)$$

である。

これらと体積力=0のもとで、ナビエ・ストークス方程式は

$$0=-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x}+\nu\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}$$

$$0=-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial y}$$

となる。下式より、

$$p=p(x)$$

なので、上式は

$$\frac{dp}{dx}=\mu\frac{d^2u}{dy^2}$$

$$∴\frac{d^2u}{dy^2}=\frac{1}{\mu}\frac{dp}{dx}$$

この微分方程式を解けばよい。

両辺をyで2回積分して

$$u(y)=\frac{1}{2\mu}\left(\frac{dp}{dx}\right)y^2+C_1y+C_2　(C_1，C_2は積分定数)$$

境界条件：$u(0)=u(h)=0$より、

$$u(y)=\frac{1}{2\mu}\left(\frac{dp}{dx}\right)(y-h)y$$

これは、次のような放物線型の速度分布を表す。

$y=h/2$で最大速度$u_{max}$をとる。

$$u_{max}=u\left(\frac{h}{2}\right)=-\frac{1}{8\mu}\left(\frac{dp}{dx}\right)h^2$$

また、流量については速度を積分して

$$Q=\int_0^hudy=\int_0^h\frac{1}{2\mu}\left(\frac{dp}{dx}\right)(y-h)ydy=-\frac{1}{12\mu}\left(\frac{dp}{dx}\right)h^3$$

そして、流量=断面積×流速の関係から平均流速は

$$u_m=\frac{Q}{h}=-\frac{1}{12\mu}\left(\frac{dp}{dx}\right)h^2=\frac{2}{3}u_{max}$$

せん断応力$\tau$は、$y=h/2$に対して対称となる。

$$\tau=\mu\left(\frac{\partial v}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial y}\right)=\mu\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{1}{2}\left(\frac{dp}{dx}\right)|2y-h|$$

まとめページ

流体力学

流体力学連続方程式(質量保存則)の導出オイラーの運動方程式(直交座標・極座標)の導出流線の方程式と速度ポテンシャル・流れ関数の定義と関係式ベルヌーイの定理(エネルギー保存則)の導出流体の変形と回転・渦度と[…]