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微分方程式

弾性床の上に置かれたはりのたわみ

弾性床の上に長いはりをおいたときのたわみを求めよう。 例えば、鉄道の軌条をはりとみなしてモーメントの計算をするときなどに利用することができる。 はりのたわみの方程式の導出は以下の記事を参照のこと。   $$EI_z\frac{d^2y}{dx^2}=-M$$ の両辺を\(x\)で2回微分す […]

円柱材の軸対称塑性加工の解析

前回はブロック材の加工解析を行った。   今回は、丸棒や円管といった軸対称な塑性変形を考える。軸対称加工における主応力の方向は、半径方向・接線方向・軸方向になる。 ここでは、円柱の圧縮加工の解析を行う。 円柱の圧縮加工 円柱形状の材料を平行工具で圧縮する場合を考える。材料は剛塑性体、工具は […]

ブロック材の圧縮加工の解析

これまでに学んできた塑性加工の式を用いて、材料の圧縮加工について解析してみよう。   材料の変形領域を平面または球面に沿う薄い板状の要素に分割し、この薄板に作用する応力を主応力と仮定して解析を行う。 このような手法をスラブ法といい、塑性加工の近似解を導くのに用いられる。 ここでは、直方体を […]

ベルヌーイの微分方程式の解法

ここまで、様々な微分方程式の解法を学んできた。 例題で理解する2階線形微分方程式の解法 具体例で学ぶ微分演算子法 ラプラス変換で微分方程式を解く ここからは、特殊な形の微分方程式をいくつか紹介していく。   まずは、ベルヌーイの微分方程式である。 ベルヌーイの微分方程式 $$y’ […]

連立微分方程式の解法-微分演算子とラプラス変換

連立微分方程式の解法 先に学んだ微分演算子法やラプラス変換により、連立微分方程式を解くことができる。 その例を見てみよう。以下では、\(x=x(t)、y=y(t)\)とする。 微分演算子による解法 \[ \begin{cases} x’+2x+y=e^t &・・・① \\ x&# […]

ラプラス変換で微分方程式を解く

ラプラス変換の細かい点は置いておいて、微分方程式をラプラス変換で解く方法を考えていく。 ラプラス変換の定義 ラプラス変換は、時間の関数(t)を別の関数(s)へと変換する手法である。 t≧0で定義された関数f(t)のラプラス変換F(s)は次式で定義される。 $$F(s)=\mathcal{L}[f(t […]

具体例で学ぶ微分演算子法【理工数学】

微分演算子法とは、微分方程式の特殊解を代数的な計算で求める方法である。 微分演算子の定義 $$D≡\frac{d}{dx}$$ 上式で定義されるDを、微分演算子と呼ぶ。 このDを用いると、微分を次のように表すことができる。 $$y’=\frac{d}{dx}y=D[y]$$ 微分方程式は […]

例題で理解する2階線形微分方程式の解法【理工数学】

さて、ここから常微分方程式の解法について学んでいく。 はじめは、定数係数2階線形微分方程式について、同次形・非同次形の解法を例題とともに理解していこう。 2階線形微分方程式(同次形) $$y^{\prime\prime}py’+qy=0$$ 右辺が0であるパターンの解法   $ […]

包絡線の求め方と全微分方程式

偏微分の応用第3回では、「包絡線」と「全微分方程式」について学んでいきます。 前回までの内容はこちら→曲線について・極値について   包絡線 あるパラメータ\(\alpha\)を含む方程式\(f(x, y, \alpha)=0\)は、\(\alpha\)を固定すると\(xy\)-平面上で一 […]

2階線形微分方程式の解法

1階線形微分方程式に続き、2階の微分方程式について考えていきたいと思います。 一般に、2階以上の微分方程式について積分を使って解を求める公式は存在しません。なのでここでは解の存在や性質に関して論じることにします。 2階線形微分方程式 $$y^{\prime\prime}+p_1(x)y’ […]