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ベルヌーイの微分方程式の解法

ここまで、様々な微分方程式の解法を学んできた。

例題で理解する2階線形微分方程式の解法

具体例で学ぶ微分演算子法

ラプラス変換で微分方程式を解く

ここからは、特殊な形の微分方程式をいくつか紹介していく。

 

まずは、ベルヌーイの微分方程式である。

ベルヌーイの微分方程式

$$y’+p(x)y=q(x)y^n (n\ne0, 1)$$

の形で表される微分方程式を、ベルヌーイの微分方程式と呼ぶ。

 

この方程式を解くためには、次の変数変換を行えばよい。

$$z=y^{1-n}$$

とおくと

$$y=z^{n-1}$$

である。また

$$\frac{dz}{dx}=\frac{d}{dy}(y^{1-n})\frac{dy}{dx}=(1-n)y^{-n}y’$$

より

$$y’=\frac{1}{1-n}y^nz’$$

これらを元の式に代入して整理する。

 

$$\frac{1}{1-n}y^nz’+p(x)y=q(x)y^n$$

両辺を\(y^n\)で割って

$$\frac{1}{1-n}z’+p(x)y^{1-n}=q(x)$$

両辺に\((1-n)\)をかけると

$$z’+(1-n)p(x)z=(1-n)q(x)$$

となる。これは、\(z\)の1階線形微分方程式になっているので、解くことができる。

 

例題

ベルヌーイの微分方程式の解き方を確認しよう。

$$y’-\frac{y}{x}=-(x+1)y^2 を解け$$

(解)

右辺に\(y^2\)があり、ベルヌーイ型になっている。

$$z=y^{1-2}=\frac{1}{y}とおくと、\frac{dz}{dx}=-\frac{1}{y^2}y’より、y’=-y^2z’$$

与式に代入すると

$$-y^2z’-\frac{y}{x}=-(x+1)y^2$$

両辺を\(-y^2\)で割って整理すると

$$z’+\frac{1}{x}z=x+1$$

となる。定数変化法で\(z\)について解く。

\[
\begin{align*}
z’+\frac{1}{x}z&=0 \\
\frac{dz}{dx}&=-\frac{1}{x}zより、z=\frac{C_1}{x}
\end{align*}
\]

\(C_1=C_1(x)\)とみて元の方程式に代入すると

\[
\begin{align*}
\frac{C_1′}{x}-&\frac{C_1}{x^2}+\frac{1}{x}\frac{C_1}{x}=x+1 \\
C_1’&=x^2+x \\
C_1&=\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{2}x^2+C
\end{align*}
\]

よって

$$z=\frac{1}{3}x^2+\frac{1}{2}x+\frac{C}{x}$$

したがって、求める解は

$$\frac{1}{y}=\frac{1}{3}x^2+\frac{1}{2}x+\frac{C}{x}$$

 

備考:積分因子を用いた解法

ベルヌーイの微分方程式で、\(n=0\)のとき、すなわち

$$y’+p(x)y=q(x)$$

は1階線形微分方程式になっている。

上の例題でも、\(z\)を求めるときにこの形の方程式が現れた。先ほどは定数変化法を用いたが、積分因子を用いても計算することができる。

 

両辺に\(h(x)\)をかける。

$$h(x)y’+h(x)p(x)y=h(x)q(x)$$

ここで、積の微分

$$(h(x)y)’=h(x)q(x)$$

のように見ると、

\[
\begin{align*}
h'(x)&=h(x)p(x) \\
\ln|h(x)|&=\int p(x)dx \\
h(x)&=exp\left\{\int p(x)dx\right\}
\end{align*}
\]

となっている。この\(h\)を積分因子と呼ぶ。

これより

$$h(x)y=\int h(x)q(x)dx$$

となり、解くことができる。

 

例題

$$y’+\frac{1}{x}y=x+1 を解け$$

先ほど定数変化法で解いた方程式を、改めて計算してみる。

(解)

積分因子

$$h(x)=exp\left\{\int\frac{dx}{x}\right\}=exp\{\ln|x|\}=x$$

を与式の両辺にかける。

\[
\begin{align*}
xy’+y&=x^2+x \\
(xy)’&=x^2+x \\
xy&=\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{2}x^2+C
\end{align*}
\]

よって

$$y=\frac{1}{3}x^2+\frac{1}{2}x+\frac{C}{x}$$

積分因子による方法は使わなくても解くことができるが、計算のテクニックとして覚えておいてもよい。

 

まとめページ

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