ラプラス変換の細かい点は置いておいて、微分方程式をラプラス変換で解く方法を考えていく。
ラプラス変換の定義
ラプラス変換は、時間の関数(t)を別の関数(s)へと変換する手法である。
t≧0で定義された関数f(t)のラプラス変換F(s)は次式で定義される。
$$F(s)=\mathcal{L}[f(t)]=\int_0^{\infty}f(t)e^{-st}dt$$
ただし、sは複素数である。
ラプラス変換をするときは、元の関数f(t)にe^{-st}をかけて0から無限大まで積分すればよい。
また、関数F(s)から元の関数f(t)を計算することを逆ラプラス変換という。
$$f(t)=\mathcal{L}^{-1}=\lim_{p\to\infty}\frac{1}{2\pi i}\int_{c-ip}^{c+ip}F(s)e^{st}ds$$
右辺の積分はブロムウィッチ積分といい、複素積分である。
一見するとややこしいラプラス変換であるが、実用上はすでに計算されたラプラス変換表を用いることが多く、定義式をそのまま計算することは少ない。
簡単な関数のラプラス変換について、具体的な計算をみていこう。
ラプラス変換の計算
後に微分方程式に適用するため、時間tではなくxの関数でラプラス変換を計算する。
f(x)=x^nのラプラス変換
・f(x)=1のとき
\[
\begin{align*}
F(s)&=\int_0^{\infty}1・e^{-sx}dx \\
&=-\frac{1}{s}\left[e^{-sx}\right]_0^{\infty} \\
&=\frac{1}{s}
\end{align*}
\]
・f(x)=xのとき
\[
\begin{align*}
F(s)&=\int_0^{\infty}xe^{-sx}dx \\
&=-\frac{1}{s}\left[xe^{-sx}\right]_0^{\infty}+\frac{1}{s}\int_0^{\infty}e^{-sx}dx \\
&=-\frac{1}{s^2}\left[e^{-sx}\right]_0^{\infty} \\
&=\frac{1}{s^2}
\end{align*}
\]
・f(x)=x^2のとき
\[
\begin{align*}
F(s)&=\int_0^{\infty}x^2e^{-sx}dx \\
&=-\frac{1}{s}\left[x^2e^{-sx}\right]_0^{\infty}+\frac{1}{s}\int_0^{\infty}2xe^{-sx}dx \\
&=\frac{2}{s}・\mathcal{L}[x] \\
&=\frac{2}{s^3}
\end{align*}
\]
一般に、
(証明)
数学的帰納法による。
$$n=kで\mathcal{L}[x^k]=\frac{k!}{s^{k+1}}として、n=k+1で$$
\begin{align*}
\mathcal{L}[x^{k+1}]&=\int_0^{\infty}x^{k+1}e^{-sx}dx \\
&=-\frac{1}{s}\left[x^{k+1}e^{-sx}\right]_0^{\infty}+\frac{k+1}{s}\int_0^{\infty}x^ke^{-sx}dx \\
&=\frac{(k+1)!}{s^{(k+1)+1}}
\end{align*}
\]
(証明終)
f(x)=e^{αx}のラプラス変換
\[
\begin{align*}
F(s)&=\int_0^{\infty}e^{\alpha x}e^{-sx}dx=\int_0^{\infty}e^{-(s-\alpha)x}dx \\
&=-\frac{1}{s-\alpha}\left[e^{-(s-\alpha)x}\right]_0^{\infty} \\
&=\frac{1}{s-\alpha}
\end{align*}
\]
f(x)=cos(αx)，sin(αx)のラプラス変換
オイラーの公式を用いる。
$$e^{i\alpha x}=\cos(\alpha x)+i\sin(\alpha x)$$
より
\[
\begin{align*}
\mathcal{L}[e^{i\alpha x}]&=\mathcal{L}[\cos(\alpha x)]+i\mathcal{L}[\sin(\alpha x)] \\
\frac{1}{s-(i\alpha)}&=\frac{s+i\alpha}{s^2+\alpha^2}=\frac{s}{s^2+\alpha^2}+i\frac{\alpha}{s^2+\alpha^2}
\end{align*}
\]
実部、虚部をそれぞれ比較して
$$\mathcal{L}[\cos(\alpha x)]=\frac{s}{s^2+\alpha^2}$$
$$\mathcal{L}[\sin(\alpha x)]=\frac{\alpha}{s^2+\alpha^2}$$
y’，y”のラプラス変換
微分方程式にラプラス変換を応用する際に必要になる式である。
$$\mathcal{L}[y’]=s\mathcal{L}[y]-y(0)$$
$$\mathcal{L}[y^{\prime\prime}]=s^2\mathcal{L}[y]-sy(0)-y'(0)$$
(証明)
\[
\begin{align*}
\mathcal{L}[y’]&=\int_0^{\infty}y’・e^{-sx}dx \\
&=\left[ye^{-sx}\right]_0^{\infty}+s\int_0^{\infty}ye^{-sx}dx \\
&=s\mathcal{L}[y]-y(0)
\end{align*}
\]
\[
\begin{align*}
\mathcal{L}[y^{\prime\prime}]&=\int_0^{\infty}y^{\prime\prime}・e^{-sx}dx \\
&=\left[y’e^{-sx}\right]_0^{\infty}+s\int_0^{\infty}y’e^{-sx}dx \\
&=s^2\mathcal{L}[y]-sy(0)-y'(0)
\end{align*}
\]
(証明終)
微分方程式への応用
微分方程式にラプラス変換を用いるときは、まず元の方程式をラプラス変換し、L[y]=F(s)の形にしてから逆変換すればよい。
このとき、ラプラス変換・逆変換可能な形を作り出すことがポイントになる。
簡単な計算例を示す。
$$y^{\prime\prime}-4y’+3y=e^{2x} (y(0)=0，y'(0)=0) を解け。$$
(解)
両辺をラプラス変換する。
\[
\begin{align*}
\mathcal{L}[y^{\prime\prime}-4y’+3y]&=\mathcal{L}[e^{2x}] \\
\mathcal{L}[y^{\prime\prime}]-4\mathcal{L}[y’]+3\mathcal{L}[y]&=\frac{1}{s-2}
\end{align*}
\]
$$\mathcal{L}[y]=\frac{1}{(s-1)(s-2)(s-3)}$$
右辺を部分分数分解する。
よって、求める解は逆ラプラス変換して得られる。
$$y=\frac{1}{2}e^x-e^{2x}+\frac{1}{2}e^{3x}$$
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