コーシーの積分公式の証明と例題3問
複素関数の積分で重要なコーシーの積分公式を学ぶ。 コーシーの積分公式 複素関数\(f(z)\)は開集合\(K\)上で正則関数とする。\(C\)を\(K\)に含まれる滑らかな閉曲線とし、\(D\)を\(C\)の内部の領域、\(D^e\)を\(C\)の外部の領域とする。 このとき、次が成り立つ。 $$\ […]
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理工数学
複素関数の積分とコーシーの積分定理【理工数学】
複素関数の微分につづき、複素積分の積分を考えていく。 複素平面上にz軸はないので、複素関数の積分は経路Cに沿った線積分を行うことになる。 ベクトル解析の線積分と同様にして複素関数の積分を計算することができる。 複素関数の積分 z(t)=x(t)+iy(t)として、C∈Kとする。ただし、 […]
ド・モアブルの定理による三角関数の倍角公式の証明【理工数学演習】
オイラーの公式を用いて、三角関数の2倍角、3倍角の公式を証明せよ。 ド・モアブルの定理を使うと、三角関数の倍角公式を簡単に示すことができる。 (解) $$z=re^{i\theta}とすると、z^n=r^ne^{in\theta}=r^n(\cos n\theta+i\sin n\th […]
複素数に関する基礎の復習とド・モアブルの定理【理工数学】
今回から、複素関数論を学んでいく。 別の記事(こちら)で既にみているが、複素数の基礎について今一度復習しておくことにする。 複素数の基本 虚数単位iを用いて、z=x+iyと表されるzを複素数と呼ぶ。x、yはそれぞれ次のようにかく。 $$x=Rez ， y=Imz$$ x軸(実軸)とy軸(虚軸)でつく […]
離散フーリエ変換(DFT)の計算オーダーと高速フーリエ変換(FFT)【理工数学】
離散フーリエ変換の計算効率 DFTを定義に基づいて計算した場合、どれくらいの計算ステップが必要なのかを調べてみる。 まず、DFTの定義から出発する。 $$G_n=\sum_{k=0}^{N-1}g_ke^{-\frac{2\pi ink}{N}}$$ いま、式を見やすくするために $$W^k=e^{ […]
離散フーリエ変換の理論と計算【理工数学】
離散フーリエ変換 これまで、離散的な時刻tk=kΔt (k=0, ±1, ±2, …, ±∞) でサンプリングされた無限個のデータに対するフーリエ変換Gs(f)を考え、その性質について論じてきた。 しかし、実際にコンピュータ上で数値計算を行う場合、データは有限個である。このとき、フーリエ変換は連続関 […]
離散データのフーリエ変換とサンプリング定理(標本化定理)の導出【理工数学】
周期デルタ関数列とそのフーリエ変換 時刻tk=kΔt (k=0, ±1, ±2, …)にデルタ関数をもつ、周期デルタ関数列を次式で定義する。 $$\delta_{\Delta t}(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta(t-k\Delta t)$$ この […]
離散フーリエ変換(DFT)とサンプリング定理の概要
離散フーリエ変換 ここまで、フーリエ変換の数学的な理論について学んできた。 実際にフーリエ変換を応用する場合には、現実の信号を有限の時間で測定し、離散的なデータを元にコンピュータを用いて計算しなくてはならない。 これから、そのための手法である「離散フーリエ変換」について学んでいく。 サ […]
非周期関数のフーリエ変換～ローレンツ方程式とカオス【理工数学】
非周期関数のフーリエ変換 前回見たように、周期関数g(t)に対するフーリエ変換は、関数の周波数fとその整数倍の位置にデルタ関数が現れた。 フーリエ変換は信号を周期関数に分解する作用なので、フーリエ変換をデータ解析に応用する場合はこうした鋭いピークの位置、すなわち信号に特徴的な周波数を探すことが多い。 […]
パワースペクトルの例－白色ノイズとブラウン運動
白色ノイズ 白色雑音、ホワイトノイズとも呼ばれる。 白色ノイズは周波数によらず振幅が等しいノイズのことであり、自己相関係数\(C(t)\)がデルタ関数で表される。 $$C(t)=D\delta(t)$$ \(D\)はノイズの強さを表す量であり、\(C(t)\)は\(g(t)=\xi(t)\)として定 […]