理工数学

パーシバルの定理の証明とパワースペクトルについて

パーシバル(Parseval)の定理 関数\(g(t)\)とそのフーリエ変換\(G(f)\)について、次式が成り立つ。 $$\int_{-\infty}^{\infty}|g(t)|^2dt=\int_{-\infty}^{\infty}|G(f)|^2df$$ 証明 \[ \begin{align […]

フーリエ変換・逆フーリエ変換の定義と導出【理工数学】

フーリエ変換について学んでいきましょう。 フーリエ変換とフーリエ級数展開の違い 三角関数によるフーリエ級数展開(参照①)やこれを拡張した複素フーリエ級数展開(参照②)は、そもそも周期Tをもつ周期関数をcos(2πnt/T)とsin(2πnt/T)またはexp(i2πnt/T)を用いて級数展開するもの […]

複素フーリエ級数展開式の導出と計算例

前回(フーリエ級数展開)に引き続き、複素関数の場合のフーリエ級数展開の式を学びます。 複素フーリエ級数展開 周期\(T\)を持つ複素関数\(g(t)\)のフーリエ級数展開およびフーリエ係数は次式で与えられる。 $$g(t)=\sum_{-\infty}^{\infty}c_ne^{i\frac{2\ […]

グリーンの定理の証明

今回から、ベクトル解析の肝である、積分に関する定理について学んでいきます。 まずはグリーンの定理からはじめ、次回からガウスの発散定理とストークスの定理を示していきます。 線積分や面積分、体積積分を書き換えることができるこれらの定理は、電磁気学をはじめ様々な分野で活用することになりますので、証明の流れ […]

線積分と面積分の定義と計算方法【理工数学】

前回はベクトルの基礎的な演算について学びました。 ベクトル解析①ベクトルの基礎・スカラー場とベクトル場の演算公式【理工数学】 今回は、線積分および面積分について学んでいきます。 線積分 C^1級曲線 $$C：\mathbf{r}=\mathbf{r}(t)　(\alpha\le t\le\beta) […]

広義重積分の定義と重積分の収束・発散

1変数のとき(広義積分の定義、広義積分の収束)と同様に、重積分についても広義積分を考えていきます。 広義重積分 有界集合上の非有界関数の重積分および非有界集合上での重積分を定義する。そのために平面上の点集合(非有界でもよい)\(D\)に対して、\(D\)の近似列を次のように定義する。 近似列\(\{ […]

重積分②重積分の計算方法その１ー累次積分と計算例【理工数学】

重積分①では、重積分の定義について述べました。しかし、重積分の値を定義に基づいて計算することは困難です。 ここから、重積分の実用的な計算方法にを学んでいきたいと思います。 累次積分 重積分を、1変数の積分の繰り返しで計算する方法を累次積分といいます。 定理 $$\phi_1(x)、\phi_2(x) […]

陰関数と偏微分ー陰関数定理【理工数学】

偏微分の続きです。陰関数について紹介しておきます。 陰関数とは 2つの変数x, yの間に、ある関係式F(x, y)=0が成り立っているとします。 xを与えると、これはyの方程式とみて解くことでyの値がいくつか求まりますから、yはxの関数になっています。 このことを、関係式F(x, y)=0が定める陰 […]

偏微分②多変数関数の極限と連続性に関する諸定理【理工数学】

前回学んだ点集合をもとに、関数について論じていきます。   平面上の点集合Dの各点に、何らかの方法で実数が対応しているとき、D上の一つの関数fが与えられたとします。D上の点Pに対応する値をf(P)で表し、関数f(P)のように書くこととします。このDを関数f(P)の定義域と呼びます。 関数f […]

定積分の応用ー級数の収束判定・面積・曲線の長さの計算方法【理系数学】

ここでは、定積分を用いた実用的な計算について考えていきます。 正項級数の積分判定法 定理 $$f(x)は[1,\infty)上で正値かつ単調減少とする。このとき、$$ $$正項級数\sum_{n=1}^{\infty}f(n)と広義積分\int_1^{\infty}f(x)dxは同時に収束・発散する […]