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理工数学

各種関数のラプラス変換一覧(導出付き)

ここでは、主な関数のラプラス変換を計算する。簡単な導出も付けているので、参考にどうぞ。 初等関数:べき関数、指数関数、三角関数、双曲線関数、対数関数 特殊関数:デルタ関数、ステップ関数、誤差関数、第1種ベッセル関数 その他:微分、積分、移動、周期、畳み込み 初等関数のラプラス変換 べき関数 (\(f […]

ガンマ関数とベータ関数の基礎【理工数学】

特殊関数である、ガンマ関数とベータ関数を定義し、その基本性質を学ぶ。 ガンマ関数 以下の式で定義される関数を、ガンマ関数と呼ぶ。 $$\Gamma(\alpha)=\int_0^{\infty}x^{\alpha-1}e^{-x}dx$$ ガンマ関数は、階乗を整数以外にも拡張する関数である。 ガンマ […]

オイラーの微分方程式の解法

ベルヌーイの微分方程式に続き、オイラーの微分方程式の解法をみていこう。 オイラーの微分方程式 $$x^ny^{(n)}+a_1x^{n-1}y^{(n-1)}+・・・+a_{n-1}xy’+a_ny=p(x)$$ の形で表される微分方程式を、オイラーの微分方程式と呼ぶ。 簡単のため、\( […]

ラプラス変換で微分方程式を解く

ラプラス変換の細かい点は置いておいて、微分方程式をラプラス変換で解く方法を考えていく。 ラプラス変換の定義 ラプラス変換は、時間の関数(t)を別の関数(s)へと変換する手法である。 t≧0で定義された関数f(t)のラプラス変換F(s)は次式で定義される。 $$F(s)=\mathcal{L}[f(t […]

具体例で学ぶ微分演算子法【理工数学】

微分演算子法とは、微分方程式の特殊解を代数的な計算で求める方法である。 微分演算子の定義 $$D≡\frac{d}{dx}$$ 上式で定義されるDを、微分演算子と呼ぶ。 このDを用いると、微分を次のように表すことができる。 $$y’=\frac{d}{dx}y=D[y]$$ 微分方程式は […]

例題で理解する2階線形微分方程式の解法【理工数学】

さて、ここから常微分方程式の解法について学んでいく。 はじめは、定数係数2階線形微分方程式について、同次形・非同次形の解法を例題とともに理解していこう。 2階線形微分方程式(同次形) $$y^{\prime\prime}py’+qy=0$$ 右辺が0であるパターンの解法   $ […]

留数定理の広義積分への応用【理工数学】

広義積分の計算 留数定理の応用で、広義積分を計算することができる。 上のように、-RからRまでの直線経路と、原点を中心とする半径Rの半円経路を考える。こうしてできる閉曲線経路をとることで $$\int_{-\infty}^{\infty} \to \lim_{R\to\infty}\int_{-R} […]

留数定理の証明と例題

前回学んだローラン展開を使うと、特異点を含む周回積分を簡単に計算できる強力な武器を使えるようになる。 ここでは、留数の求め方と留数定理を学んでいく。 留数 関数\(f(z)\)をローラン展開したとき $$f(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_n(z-a)^n $$ の\(n […]

特異点とローラン展開【理工数学】

特異点と極 関数f(z)が、z=aで正則でないが、z=aの近傍では正則であるとする。 このような点aを、f(z)の孤立特異点という。特異点とは、微分不可能な点のことである。 例えば、f(z)=1/zの場合、z=0は孤立特異点である。 特異点は、その性質により次のように分類される。 除去可能な特異点 […]

コーシーの積分公式の証明と例題3問

複素関数の積分で重要なコーシーの積分公式を学ぶ。 コーシーの積分公式 複素関数\(f(z)\)は開集合\(K\)上で正則関数とする。\(C\)を\(K\)に含まれる滑らかな閉曲線とし、\(D\)を\(C\)の内部の領域、\(D^e\)を\(C\)の外部の領域とする。 このとき、次が成り立つ。 $$\ […]