オイラーの公式を用いて、三角関数の2倍角、3倍角の公式を証明せよ。
ド・モアブルの定理を使うと、三角関数の倍角公式を簡単に示すことができる。
(解)
$$z=re^{i\theta}とすると、z^n=r^ne^{in\theta}=r^n(\cos n\theta+i\sin n\theta)$$
一方、z=r(cosθ+isinθ)から
\[
\begin{align*}
z^2 & =r^2(\cos^2\theta+2i\sin\theta\cos\theta-\sin^2\theta) \\
& =r^2\{(\cos^2\theta-\sin^2\theta)+i(2\sin\theta\cos\theta)\}
\end{align*}
\]
\[
\begin{align*}
z^3 & =r^3(\cos^3\theta+3i\cos^2\theta\sin\theta-3\cos\theta\sin^2\theta-i\sin^3\theta) \\
& =r^3\{(\cos^3\theta-3\cos\theta\sin^2\theta)+i(3\cos^2\theta\sin\theta-\sin^3\theta)\} \\
& =r^3\{(4\cos^3\theta-3\cos\theta)+i(3\sin\theta-4\sin^3\theta)\}
\end{align*}
\]
n=2, 3として係数を比較すれば
\[
\begin{cases}
\cos 2\theta=\cos^2\theta-\sin^2\theta \\
\sin 2\theta=2\sin\theta\cos\theta
\end{cases}
\]
\[
\begin{cases}
\cos 3\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta \\
\sin 3\theta=3\sin\theta-4\sin^3\theta
\end{cases}
\]
