理工数学

ラプラス変換の基礎

別の記事(ラプラス変換で微分方程式を解く)でも簡単に紹介したが、ラプラス変換について改めて学んでいこう。 ラプラス変換の定義 関数f(t)のラプラス変換を次式で定義する。 $$F(s)=\mathcal{L}[f(t)]=\int_0^{\infty}f(t)e^{-st}dt$$ ただし、sは複素 […]

ガンマ関数とベータ関数の基礎【理工数学】

特殊関数である、ガンマ関数とベータ関数を定義し、その基本性質を学ぶ。 ガンマ関数 以下の式で定義される関数を、ガンマ関数と呼ぶ。 $$\Gamma(\alpha)=\int_0^{\infty}x^{\alpha-1}e^{-x}dx$$ ガンマ関数は、階乗を整数以外にも拡張する関数である。 ガンマ […]

オイラーの微分方程式の解法

ベルヌーイの微分方程式に続き、オイラーの微分方程式の解法をみていこう。 オイラーの微分方程式 $$x^ny^{(n)}+a_1x^{n-1}y^{(n-1)}+・・・+a_{n-1}xy’+a_ny=p(x)$$ の形で表される微分方程式を、オイラーの微分方程式と呼ぶ。 簡単のため、\( […]

ベルヌーイの微分方程式の解法

ここまで、様々な微分方程式の解法を学んできた。 例題で理解する2階線形微分方程式の解法 具体例で学ぶ微分演算子法 ラプラス変換で微分方程式を解く ここからは、特殊な形の微分方程式をいくつか紹介していく。   まずは、ベルヌーイの微分方程式である。 ベルヌーイの微分方程式 $$y’ […]

連立微分方程式の解法-微分演算子とラプラス変換

連立微分方程式の解法 先に学んだ微分演算子法やラプラス変換により、連立微分方程式を解くことができる。 その例を見てみよう。以下では、\(x=x(t)、y=y(t)\)とする。 微分演算子による解法 \[ \begin{cases} x’+2x+y=e^t　&・・・① \\ x&# […]

ラプラス変換で微分方程式を解く

ラプラス変換の細かい点は置いておいて、微分方程式をラプラス変換で解く方法を考えていく。 ラプラス変換の定義 ラプラス変換は、時間の関数(t)を別の関数(s)へと変換する手法である。 t≧0で定義された関数f(t)のラプラス変換F(s)は次式で定義される。 $$F(s)=\mathcal{L}[f(t […]

具体例で学ぶ微分演算子法【理工数学】

微分演算子法とは、微分方程式の特殊解を代数的な計算で求める方法である。 微分演算子の定義 $$D≡\frac{d}{dx}$$ 上式で定義されるDを、微分演算子と呼ぶ。 このDを用いると、微分を次のように表すことができる。 $$y’=\frac{d}{dx}y=D[y]$$ 微分方程式は […]

例題で理解する2階線形微分方程式の解法【理工数学】

さて、ここから常微分方程式の解法について学んでいく。 はじめは、定数係数2階線形微分方程式について、同次形・非同次形の解法を例題とともに理解していこう。 2階線形微分方程式（同次形） $$y^{\prime\prime}py’+qy=0$$ 右辺が0であるパターンの解法   $ […]

留数定理の広義積分への応用【理工数学】

広義積分の計算 留数定理の応用で、広義積分を計算することができる。 上のように、-RからRまでの直線経路と、原点を中心とする半径Rの半円経路を考える。こうしてできる閉曲線経路をとることで $$\int_{-\infty}^{\infty}　\to　\lim_{R\to\infty}\int_{-R} […]

留数定理の証明と例題

前回学んだローラン展開を使うと、特異点を含む周回積分を簡単に計算できる強力な武器を使えるようになる。 ここでは、留数の求め方と留数定理を学んでいく。 留数 関数\(f(z)\)をローラン展開したとき $$f(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_n(z-a)^n $$ の\(n […]