陰関数と偏微分ー陰関数定理【理工数学】

偏微分の続きです。陰関数について紹介しておきます。

陰関数とは

2つの変数x, yの間に、ある関係式F(x, y)=0が成り立っているとします。

xを与えると、これはyの方程式とみて解くことでyの値がいくつか求まりますから、yはxの関数になっています。

このことを、関係式F(x, y)=0が定める陰関数と呼びます。

身近な例でいえば、

$$円の方程式:x^2+y^2-a^2=0$$

も陰関数とみることができます。-a<x<aをみたすxに対してyの値が2つあります。

 

一般に陰関数は多価関数になりますが、実用上は連続で滑らかな一価な分岐した曲線を取り扱います。

このような分岐をとることができることが、次の陰関数定理によって保証されます。

陰関数定理

$$F(x,y)を点(a,b)の近傍で定義されたC^1級関数とし、F(a,b)=0、F_y(a,b)\not=0とする$$

$$このとき、x=aを含む適当な開区間Iと正数\deltaをとれば、各x\in Iに対し$$

$$F(x,y)=0、|y-b|<\deltaをみたすyがただ一つ定まる。このI上の関数y=f(x)は$$

$$C^1級であり、f'(x)は次式で与えられる$$

$$f'(x)=-\frac{F_x(x,f(x))}{F_y(x,f(x))}$$

陰関数定理の証明は煩雑なので省略します。

 

上の定理において、F(x, y)がC^2級であると仮定します。

Fy(x, y)はC^1級なので、Fy(x, f(x))はxについて微分可能で

$$\frac{d}{dx}F_y(x,f(x))=F_{yx}\frac{dx}{dx}+F_{yy}\frac{d}{dx}f(x)=F_{yx}(x,f(x))+F_{yy}(x,f(x))f'(x)$$

となります。よって、Fy(x, f(x))はC^1級です。同様にして、Fx(x, f(x))もC^1級であり、陰関数定理によりf'(x)はC^1級となります。したがって、f(x)はC^2級です。

一般に次が成り立ちます。

$$陰関数定理において、F(x,y)がC^r級ならばf(x)もC^r級である$$

 

多変数関数の場合

$$F(x,y,z)は点(a,b,c)の近傍でC^1級で、F(a,b,c)=0、F_z(a,b,c)\not=0とする$$

$$このとき、点(a,b)の適当な近傍Uをとれば、U上のC^1級関数z=f(a,y)で$$

$$c=f(a,b) および F(x,y,f(x,y)=0 ((x,y)\in U)$$

$$を満たすものがただ一つ存在する。これに対し、次式が成立する$$

$$\frac{\partial f}{\partial x}=-\frac{F_x(x,y,f(x,y))}{F_z(x,y,f(x,y))},\frac{\partial f}{\partial y}=-\frac{F_y(x,y,f(x,y))}{F_z(x,y,f(x,y))}$$

$$さらに、FがC^r級ならばfもUでC^r級となる$$

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