偏微分の続きです。陰関数について紹介しておきます。
陰関数とは
2つの変数x, yの間に、ある関係式F(x, y)=0が成り立っているとします。
xを与えると、これはyの方程式とみて解くことでyの値がいくつか求まりますから、yはxの関数になっています。
このことを、関係式F(x, y)=0が定める陰関数と呼びます。
身近な例でいえば、
$$円の方程式：x^2+y^2-a^2=0$$
も陰関数とみることができます。-a<x<aをみたすxに対してyの値が2つあります。
一般に陰関数は多価関数になりますが、実用上は連続で滑らかな一価な分岐した曲線を取り扱います。
このような分岐をとることができることが、次の陰関数定理によって保証されます。
陰関数定理
$$F(x,y)を点(a,b)の近傍で定義されたC^1級関数とし、F(a,b)=0、F_y(a,b)\not=0とする$$
$$このとき、x=aを含む適当な開区間Iと正数\deltaをとれば、各x\in Iに対し$$
$$F(x,y)=0、|y-b|<\deltaをみたすyがただ一つ定まる。このI上の関数y=f(x)は$$
$$C^1級であり、f'(x)は次式で与えられる$$
$$f'(x)=-\frac{F_x(x,f(x))}{F_y(x,f(x))}$$
陰関数定理の証明は煩雑なので省略します。
上の定理において、F(x, y)がC^2級であると仮定します。
Fy(x, y)はC^1級なので、Fy(x, f(x))はxについて微分可能で
$$\frac{d}{dx}F_y(x,f(x))=F_{yx}\frac{dx}{dx}+F_{yy}\frac{d}{dx}f(x)=F_{yx}(x,f(x))+F_{yy}(x,f(x))f'(x)$$
となります。よって、Fy(x, f(x))はC^1級です。同様にして、Fx(x, f(x))もC^1級であり、陰関数定理によりf'(x)はC^1級となります。したがって、f(x)はC^2級です。
一般に次が成り立ちます。
$$陰関数定理において、F(x,y)がC^r級ならばf(x)もC^r級である$$
多変数関数の場合
$$F(x,y,z)は点(a,b,c)の近傍でC^1級で、F(a,b,c)=0、F_z(a,b,c)\not=0とする$$
$$このとき、点(a,b)の適当な近傍Uをとれば、U上のC^1級関数z=f(a,y)で$$
$$c=f(a,b) および F(x,y,f(x,y)=0 ((x,y)\in U)$$
$$を満たすものがただ一つ存在する。これに対し、次式が成立する$$
$$\frac{\partial f}{\partial x}=-\frac{F_x(x,y,f(x,y))}{F_z(x,y,f(x,y))}，\frac{\partial f}{\partial y}=-\frac{F_y(x,y,f(x,y))}{F_z(x,y,f(x,y))}$$
$$さらに、FがC^r級ならばfもUでC^r級となる$$
