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ガウスの発散定理の証明と物理的意味

前回のグリーンの定理に引き続き、ガウスの発散定理について学んでいきます。

ガウスの発散定理

\(V\)を閉曲線\(S\)で囲まれた有界な閉領域、\(\mathbf{A}\)は\(V\)を含むある開集合で定義された\(C^1\)級ベクトル場とすると

$$\iint_S\mathbf{A}・\mathbf{n}dS=\iiint_Vdiv\mathbf{A}dV (dV=dxdydz)$$

が成立する。ここで、\(\mathbf{n}\)は\(S\)の外向き単位法線ベクトルである。

 

(証明)

\(\mathbf{n}=(n_x,n_y,n_z)\)として

$$\iint_S(A_xn_x+A_yn_y+A_zn_z)dS=\iiint_V\left(\frac{\partial A_x}{\partial x}+\frac{\partial A_y}{\partial y}+\frac{\partial A_z}{\partial z} \right)dV$$

\(A_x、A_y、A_z\)それぞれについて考える。まず、\(A_z\)について

$$\iint_SA_z・n_zdS=\iiint_V\frac{\partial A_z}{\partial z}dV ・・・(*)$$

を示す。

 

最初に、\(V\)が\(xy\)-平面上の閉領域\(D\)で定義された\(C^1\)級関数\(z_1(x, y)、z_2(x, y)\)によって

$${(x, y, z)|(x, y)∈D,z_1(x, y)≦z≦z_2(x, y)}$$

を表される場合を示す。

 

\(V\)の境界面は、\(S_1:z=z_1(x, y)、S_2:z=z_2(x, y)\)、および\(xy\)-平面に垂直な側面\(S_0\)からなる。

(*)の左辺を\(S_0、S_1、S_2\)の部分に分ける。このうち、\(S_0\)の部分の面積分については、\(S_0\)での法線ベクトルはz軸に垂直かつ\(n_z=0\)なので、0である。\(S_1\)の部分については、法線ベクトルは\(V\)の内向きとなることから、

$$\iint_{S_1}A_zn_zdS=-\iint_DA_zdxdy=-\iint_DA_z(x,y,z_1(x,y))dxdy$$

\(S_2\)の部分については、法線ベクトルは\(V\)の外向きとなることから、

$$\iint_{S_2}A_zn_zdS=\iint_DA_zdxdy=\iint_DA_z(x,y,z_2(x,y))dxdy$$

よって、(*)の左辺は

\[
\begin{align*}
&\iint_D\{A_z(x,y,z_2(x,y))-A_z(x,y,z_1(x,y))\}dxdy \\
&=\iint_D\left(\int_{z_1(x,y,z)}^{z_2(x,y,z)}\frac{\partial A_z}{\partial z}dz \right)dxdy \\
&=\iiint_V\frac{\partial A_z}{\partial z}dxdydz=(*)右辺
\end{align*}
\]

一般の\(V\)に対しては、\(V\)をz軸に平行ないくつかの平面で分割し、各部分に対して同様にすればよい。

(証明終)

 

ガウスの定理の物理的意味

$$\iint_S\mathbf{A}・\mathbf{n}dS=\iiint_Vdiv\mathbf{A}dV$$

Aを流体の速度分布を表すベクトル場と考えましょう。

 

このベクトル場内に微小曲面ΔSと、ΔS上の点Qをとると、A(Q)・n(Q)ΔSはこの流体が単位時間にΔSを通じてn(Q)側に流出する量を表します。

よって、ガウスの定理の左辺は、この流体が単位時間にSの内側から外側に流出する量を表しています。

 

一方、1点Pを固定し、Pを含む微小立体ΔVをとって、これをPに縮めていくと

$$\frac{1}{\Delta V}\iiint_{\Delta V}div\mathbf{A}dV\to div\mathbf{A}(P)$$

なので、divAのPにおける値は、流体が単位時間にPの近傍から湧出する量の体積密度を表します。

 

以上より、ガウスの発散定理は次のように解釈することができます。

(単位時間にVの外に流出する量)=(単位時間にVの中で生じる流量)

 

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