塑性加工は一般に大変形を取り扱い、変形履歴や形状変化の影響を考慮する必要がある。
そのために、全ひずみではなくある瞬間のひずみ増分をその時の応力と関係づける手法が用いられる。これをひずみ増分理論(incremental strain theory)という。
塑性変形をする物体の応力とひずみ増分の関係を表す式を塑性構成式という。
ここでは、単純な塑性構成式であるレービー・ミーゼス(Levy-Mises)の式について解説する。
レービー・ミーゼスの式の定義を示し、相当ひずみ増分を用いて一般形を導出する。さらに簡単な計算問題を解いて使い方を理解しよう。
レービー・ミーゼスの式
弾性ひずみを無視した完全塑性体を仮定する。
塑性変形では、偏差応力成分と対応する塑性ひずみ増分の比が一定値になると考える。
$$\frac{d\varepsilon_1}{\sigma_1-\sigma_m}=\frac{d\varepsilon_2}{\sigma_2-\sigma_m}=\frac{d\varepsilon_3}{\sigma_3-\sigma_m}=d\lambda$$
これをレービー・ミーゼスの式(Levy-Mises equation)という。
ここで、\(\sigma_m=(\sigma_1+\sigma_2+\sigma_3)/3\)は静水圧応力、\(d\lambda\)は変形量により異なる係数である。
\(d\lambda\)を相当応力と相当ひずみ増分を用いて表そう。
準備のために相当ひずみ増分を定義しておく。
相当ひずみ増分
相当ひずみ増分を次式で定義する。
$$d\bar{\varepsilon}^2=\frac{2}{9}\{(d\varepsilon_1-d\varepsilon_2)^2+(d\varepsilon_2-d\varepsilon_3)^2+(d\varepsilon_3-d\varepsilon_1)^2\}$$
等方性材料の一軸引張を考える。
体積一定条件より
$$d\varepsilon_1=d\varepsilon，d\varepsilon_2=d\varepsilon_3=-\frac{1}{2}d\varepsilon$$
である。よって相当ひずみ増分は
\begin{align*}
d\bar{\varepsilon}^2&=\frac{2}{9}\left\{\left(d\varepsilon+\frac{1}{2}d\varepsilon\right)^2+\left(-\frac{1}{2}d\varepsilon+\frac{1}{2}d\varepsilon\right)^2+\left(-\frac{1}{2}d\varepsilon-d\varepsilon\right)^2\right\} \\
&=\frac{2}{9}\left(\frac{9}{4}d\varepsilon^2+\frac{9}{4}d\varepsilon^2\right) \\
&=d\varepsilon^2
\end{align*}
となる。相当ひずみは相当応力の場合と同じく一軸「相当」であることを意味である。
レービー・ミーゼスの式の一般形
先ほどのレービー・ミーゼスの式から、次の式を得る。
$$\frac{d\varepsilon_1-d\varepsilon_2}{\sigma_1-\sigma_2}=\frac{d\varepsilon_2-d\varepsilon_3}{\sigma_2-\sigma_3}=\frac{d\varepsilon_3-d\varepsilon_1}{\sigma_3-\sigma_1}=d\lambda$$
いまミーゼスの降伏条件を満たしているとすると
\begin{align*}
Y^2=\bar{\sigma}^2&=\frac{1}{2}\{(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2+(\sigma_3-\sigma_1)^2\} \\
&=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{d\lambda}\right)^2\{(d\varepsilon_1-d\varepsilon_2)^2+(d\varepsilon_2-d\varepsilon_3)^2+(d\varepsilon_3-d\varepsilon_1)^2\} \\
&=\frac{9}{4}\left(\frac{1}{d\lambda}\right)^2d\bar{\varepsilon}^2
\end{align*}
となる。これより、ある瞬間の\(d\lambda\)を次式で定めることができる。
$$d\lambda=\frac{3}{2}\frac{d\bar{\varepsilon}}{\bar{\sigma}}$$
これを用いると、レービー・ミーゼスの式は次式で表される。
\begin{cases}
d\varepsilon_1=\displaystyle\frac{d\bar{\varepsilon}}{\bar{\sigma}}\left\{\sigma_1-\frac{1}{2}(\sigma_2+\sigma_3)\right\} \\
d\varepsilon_2=\displaystyle\frac{d\bar{\varepsilon}}{\bar{\sigma}}\left\{\sigma_2-\frac{1}{2}(\sigma_3+\sigma_1)\right\} \\
d\varepsilon_3=\displaystyle\frac{d\bar{\varepsilon}}{\bar{\sigma}}\left\{\sigma_3-\frac{1}{2}(\sigma_1+\sigma_2)\right\}
\end{cases}
この式を使うことで、任意の応力状態に対する塑性ひずみ増分を決定することができる。
一般座標系
\(xyz\)座標系でのレービー・ミーゼスの式を示しておく。
\begin{cases}
d\varepsilon_x=\displaystyle\frac{d\bar{\varepsilon}}{\bar{\sigma}}\left\{\sigma_x-\frac{1}{2}(\sigma_y+\sigma_z)\right\}=\frac{3}{2}\frac{d\bar{\varepsilon}}{\bar{\sigma}}\sigma_x^{\prime} \\
d\varepsilon_y=\displaystyle\frac{d\bar{\varepsilon}}{\bar{\sigma}}\left\{\sigma_y-\frac{1}{2}(\sigma_z+\sigma_x)\right\}=\frac{3}{2}\frac{d\bar{\varepsilon}}{\bar{\sigma}}\sigma_y^{\prime} \\
d\varepsilon_z=\displaystyle\frac{d\bar{\varepsilon}}{\bar{\sigma}}\left\{\sigma_z-\frac{1}{2}(\sigma_x+\sigma_y)\right\}=\frac{3}{2}\frac{d\bar{\varepsilon}}{\bar{\sigma}}\sigma_z^{\prime} \\
d\varepsilon_{xy}=\displaystyle\frac{1}{2}d\gamma_{xy}=\frac{3}{2}\frac{d\bar{\varepsilon}}{\bar{\sigma}}\tau_{xy} \\
d\varepsilon_{yz}=\displaystyle\frac{1}{2}d\gamma_{yz}=\frac{3}{2}\frac{d\bar{\varepsilon}}{\bar{\sigma}}\tau_{yz} \\
d\varepsilon_{zx}=\displaystyle\frac{1}{2}d\gamma_{zx}=\frac{3}{2}\frac{d\bar{\varepsilon}}{\bar{\sigma}}\tau_{zx}
\end{cases}
簡単な計算問題を解いてみよう。
演習問題
相当ひずみ増分を求め、レービー・ミーゼスの式を適用する。
(解)
体積一定条件より
$$d\varepsilon_3=-0.05$$
相当ひずみ増分は
\begin{align*}
d\bar{\varepsilon}&=\sqrt{\frac{2}{9}\left\{(0.02-0.03)^2+(0.03+0.05)^2+(-0.05-0.02)^2\right\}} \\
&=0.05
\end{align*}
となる。よって、レービー・ミーゼスの式から
\begin{align*}
d\varepsilon_1&=\displaystyle\frac{d\bar{\varepsilon}}{\bar{\sigma}}\left(\sigma_1-\frac{1}{2}\sigma_2\right) \\
d\varepsilon_2&=\displaystyle\frac{d\bar{\varepsilon}}{\bar{\sigma}}\left(\sigma_2-\frac{1}{2}\sigma_1\right)
\end{align*}
連立方程式を解いて
$$\sigma_1=370.9~\mathrm{MPa}，\sigma_1=423.9~\mathrm{MPa}$$
を得る。
(解答終)
(解)
$$\sigma_m=\frac{\sigma_1+\sigma_2+\sigma_3}{3}=-100$$
レービー・ミーゼスの式より
$$\frac{0.02}{200-(-100)}=\frac{d\varepsilon_2}{-200-(-100)}=\frac{d\varepsilon_3}{-300-(-100)}$$
\[∴
\begin{cases}
d\varepsilon_2=-\frac{0.02}{3}=-0.0067 \\
d\varepsilon_3=-\frac{0.04}{3}=-0.0133
\end{cases}
\]
また、ミーゼスの降伏条件式から
\begin{align*}
Y=\bar{\sigma}&=\sqrt{\frac{1}{2}\left[\{200-(-200)\}^2+\{-200-(-300)\}^2+(-300-200)^2\right]} \\
&=458.3
\end{align*}
を得る。
(解答終)
金属の変形に関する内容です。 塑性加工学 弾性変形と塑性変形の違い-ミクロとマクロな視点から 応力・ひずみの定義と意味、求め方を解説 公称応力‐真応力、公称ひずみ‐真ひずみの変換方法と注意点 応力ひずみ線図を読み解くポ[…]
