理工数学

部分分数分解と有理関数・三角関数・無理関数の不定積分

前回は不定積分の基礎について学びました。 今回は、有理関数・三角関数・無理関数のそれぞれについて積分を行う際の方法について述べていきます。 有理関数 2つの多項式\(P(x)、Q(x)\)の比で表される関数\(f(x)=Q(x)/P(x)\)を有理関数とよびます。 有理数と同じ形に表される関数で、分 […]

不定積分の定義と計算方法

今回から、積分法に入っていきます。 まずは不定積分を定義し、積分の計算になれるところから始めたいと思います。 不定積分とは 関数\(f(x)\)に対し、\(F'(x)=f(x)\)を満たす関数\(F(x)\)を、\(f(x)\)の原始関数または不定積分という。 微分・積分を図に示すと上ような関係にな […]

平面上の曲線と曲率の公式

前回は空間中の曲線について曲率を定義していきました。 しかし、通常曲率を求める対象は空間曲線ではなく、平面上の曲線すなわち\(y=f(x)\)の関数であることが多いと思います。 今回は平面上の関数について曲率を求める式を導出し、具体的な計算例を示していきます。 平面上の曲線と曲率 まず空間曲線を平面 […]

曲率と曲率半径の求め方

前回は空間曲線をベクトルによって表記することを学びました。 この記事では、曲線の特徴量である曲率と曲率半径について学習していきます。 曲率とはなにか 日常生活ではあまり聞きなれない言葉かもしれませんが、私たちの生活の中で曲率(または曲率半径)は多く活用されています。 たとえば、道路のカーブやジェット […]

曲線の数学①空間曲線のベクトル表示とベクトルの微分、物理的意味合いについて【理工数学】

今回から数回にわたって、曲線についての学習をしていきます。 第一回のこの記事では、まず空間中の曲線をベクトルによって表示し、その微分の定義と意味合い、ベクトルの微分公式について書いていきます。 空間曲線の表し方 $$閉区間[\alpha ,\beta]上の連続関数x=x(t), y=y(t), z= […]

ロピタルの定理の証明と例題、使うときの注意点

前回の記事では、不定形の極限とコーシーの平均値の定理について学習しました。 今回は、不定形の極限を簡単に求める方法「ロピタルの定理(l’Hôpital’s rule)」の証明と例題を用いた使い方、注意点について学んでいきます。 ロピタルの定理 先に、ロピタルの定理を述べておき […]

不定形の極限①コーシーの平均値の定理の証明【理工数学】

高校数学の範囲で極限を計算しようとすると、0/0などの形になってしまいうまく計算できないことがありました。こういう場合には、式変形などを駆使し工夫して計算する必要がありますが、慣れるまでは結構難しいと思います。(例えば、sinx/xの極限値 ～はさみうちの原理による計算方法を解説【理工数学】) 実は […]

テイラー展開とマクローリン展開

三角関数や指数関数、対数関数などを多項式の和(級数)の形で表す方法として、テイラー展開またはマクローリン展開があります。 これは前回までに学習したテイラーの定理を利用したものです。 関数の級数展開 「関数を展開する」とは、簡単な多項式を足し合わせることで元の関数の近似値を計算することです。 関数の\ […]

テイラーの定理の証明と応用

前回は、ロルの定理と平均値の定理について学びました。 今回は、関数を級数の形で表現する方法(テイラー展開)を導いていくための準備として、テイラーの定理(Taylor’s theorem)とその証明について紹介していきます。 また、テイラーの定理を応用してネイピア数eが無理数であることを証 […]

ロルの定理とラグランジュの平均値定理の証明

今回は、微分で登場する「平均値の定理」について学習していきます。 「微分の計算はよくわかったけど、平均値の定理って意味合いがよくわからないなあ」「これ何に使うの？」と思う人も少なくないと思います。そこでこの記事では、平均値の定理の意味合いとその証明をしていきます。   なお、ここでいう平均 […]