広義重積分の定義と重積分の収束・発散
1変数のとき(広義積分の定義、広義積分の収束)と同様に、重積分についても広義積分を考えていきます。 広義重積分 有界集合上の非有界関数の重積分および非有界集合上での重積分を定義する。そのために平面上の点集合(非有界でもよい)\(D\)に対して、\(D\)の近似列を次のように定義する。 近似列\(\{ […]
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理工数学
重積分②重積分の計算方法その１ー累次積分と計算例【理工数学】
重積分①では、重積分の定義について述べました。しかし、重積分の値を定義に基づいて計算することは困難です。 ここから、重積分の実用的な計算方法にを学んでいきたいと思います。 累次積分 重積分を、1変数の積分の繰り返しで計算する方法を累次積分といいます。 定理 $$\phi_1(x)、\phi_2(x) […]
包絡線の求め方と全微分方程式
偏微分の応用第３回では、「包絡線」と「全微分方程式」について学んでいきます。 前回までの内容はこちら→曲線について・極値について 包絡線 あるパラメータ\(\alpha\)を含む方程式\(f(x, y, \alpha)=0\)は、\(\alpha\)を固定すると\(xy\)-平面上で一 […]
多変数関数の極値とラグランジュの未定乗数法
前回(偏微分の応用①曲面)に引き続き、偏微分の応用について考えていきます。 今回は極値について例題を交えて学んでいきましょう。 極値 極値の定義は以下の通りです。 関数\(f(P)\)が点\(P_0\)を含むある領域で定義されているとする。 \(P_0\)の近くで\(f(P)\le f(P_0)\) […]
曲面の方向微分係数と法線ベクトル・接平面の方程式
ここからは偏微分の応用の話に入ります。 まずは、偏微分を用いて空間中の曲面の特徴について調べていきましょう。 曲面 $$C^1級の2変数関数z=f(x,y)は、xyz空間において曲面を表す$$ 偏微分係数\(f_x(a,b)\)は、定義より $$f_x(a,b)=\left. \fra […]
陰関数と偏微分ー陰関数定理【理工数学】
偏微分の続きです。陰関数について紹介しておきます。 陰関数とは 2つの変数x, yの間に、ある関係式F(x, y)=0が成り立っているとします。 xを与えると、これはyの方程式とみて解くことでyの値がいくつか求まりますから、yはxの関数になっています。 このことを、関係式F(x, y)=0が定める陰 […]
合成関数の偏微分と多変数関数のテイラーの定理
前回は偏微分の計算について学びました。 ここから、理工系の分野でよく用いられる全微分の概念からチェインルール、テイラーの定理について学んでいきます。 全微分 以下、\(f(x, y)\)は点\((a, b)\)の近傍で定義されているとします。 適当な定数\(A、B\)に対して $$\D […]
偏微分の基礎と偏導関数の計算例
ここまで点集合と点列、多変数関数の極限と連続性と準備をしてきました。 ここからようやく、多変数関数の偏微分について学んでいきます。 偏微分・偏導関数 定義 関数\(z=f(x, y)\)が点\(P_0(a, b)\)の近傍で定義されているとします。 \(x\)の関数\(f(x, b)\)が\(x=a […]
偏微分②多変数関数の極限と連続性に関する諸定理【理工数学】
前回学んだ点集合をもとに、関数について論じていきます。 平面上の点集合Dの各点に、何らかの方法で実数が対応しているとき、D上の一つの関数fが与えられたとします。D上の点Pに対応する値をf(P)で表し、関数f(P)のように書くこととします。このDを関数f(P)の定義域と呼びます。 関数f […]
点集合の定義と点列の収束性
偏微分を取り扱うために、平面上の点の集合について学んでおく必要があります。 ここでは、点集合と点列について考えていきます。 点集合 距離 平面上の2点\(P(x, y)、Q(x’, y’)\)の距離を\(d(P, Q)\)とかくことにします。すなわち $$d(P,Q)=\sq […]