理工数学

定積分の応用ー級数の収束判定・面積・曲線の長さの計算方法【理系数学】

ここでは、定積分を用いた実用的な計算について考えていきます。 正項級数の積分判定法 定理 $$f(x)は[1,\infty)上で正値かつ単調減少とする。このとき、$$ $$正項級数\sum_{n=1}^{\infty}f(n)と広義積分\int_1^{\infty}f(x)dxは同時に収束・発散する […]

広義積分の収束条件とガンマ関数・ベータ関数について

前回に引き続き、広義積分の収束について学んでいきます。 絶対収束 被積分関数は積分区間の内側で連続であるとします。 一般に、\(|f(x)|\)がある区間で広義可積であるとき、その区間で\(f(x)\)は絶対可積であるといい、f(x)の広義積分は絶対収束するといいます。   不等式 $$\ […]

非有界関数および無限区間における広義積分の計算

これまでは有界な関数の有限区間における積分を扱ってきました。 ここからは、有界でない関数の積分および無限区間における積分を定義していきたいと思います。 非有界関数の積分 \(f(x)\)は\((a,b]\)上の非有界関数で、任意の\(a'(a<a'<b)\)に対して\([a’ […]

定積分③置換積分法と部分積分法の計算例ーウォリス(ワリス)の公式の導出【理工数学】

ここでは定積分の具体的な計算例を示していきます。 さらにウォリスの公式を与えます。この公式は、スターリングの公式の証明にも用いられる式です。 置換積分法 $$f(x)は[a,b]で連続、\phi (t)は[\alpha, \beta]または[\beta, \alpha]でC^1級$$ $$かつa\l […]

積分の平均値定理と微分積分学の基本定理

前回は、定積分の定義と積分可能性について学びました。（定積分①） 今回は、まずはじめに定積分に成り立つ性質および積分の平均値の定理について述べます。そして最後に、解析学の重要な定理である「微分積分学の基本定理」を示していきます。 微分積分学の基本定理により、微分と積分が逆演算であることが示されます。 […]

定積分①定積分の定義と積分可能性の判定に関する諸定理【理工数学】

この記事から数回にわたって、定積分について学んでいきます。 不定積分についてはこちら　⇒　不定積分の定義と公式、有理関数・三角関数・無理関数の不定積分 定積分 リーマン和 定積分の始まりは、「細かく分けて足し合わせる」ことです。計算も大切ですが、そもそもの考え方を理解しておきましょう。 $$f(x) […]

特性方程式と2階線形微分方程式の解法

今回学ぶ微分方程式が、大学1回生で学ぶ最も難しいタイプのものになります。 これまでの微分方程式の復習はこちら⇒1階線形微分方程式、2階線形微分方程式   手順は長くなりますが、丁寧に計算していけば必ず解けるようになります。それではいきましょう。 定数係数2階線形微分方程式 最終目標は、 $ […]

複素数の基礎～複素平面と極形式・複素数値関数の微積分【理工数学】

微分方程式を解く上で、複素数(complex number)を用いる場面も多くあります。なのでここで複素数の基礎について学んでおきましょう。 前回までの記事：1階線形微分方程式、2階線形微分方程式 複素数の基礎 $$二つの実数x, yに対して、z=x+iyと表される数zを複素数と呼ぶ$$ $$ここで […]

2階線形微分方程式の解法

1階線形微分方程式に続き、2階の微分方程式について考えていきたいと思います。 一般に、2階以上の微分方程式について積分を使って解を求める公式は存在しません。なのでここでは解の存在や性質に関して論じることにします。 2階線形微分方程式 $$y^{\prime\prime}+p_1(x)y’ […]

変数分離形・同次形・１階線形微分方程式の一般解の求め方

不定積分を学ぶことで、微分方程式を解くことができるようになります。 微分方程式とは関数の微分形を含む方程式で、元の関数を求めることを微分方程式を解く、といいます。 微分方程式を解くことで、自然界の様々な法則を導き出していくことができます。まずはその基礎から始め、科学の奥深い世界を楽しむ準備をしていき […]