新米夫婦のふたりごと

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理工数学

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特異点とローラン展開【理工数学】

特異点と極 関数f(z)が、z=aで正則でないが、z=aの近傍では正則であるとする。 このような点aを、f(z)の孤立特異点という。特異点とは、微分不可能な点のことである。 例えば、f(z)=1/zの場合、z=0は孤立特異点である。 特異点は、その性質により次のように分類される。 除去可能な特異点 […]

複素関数論

複素関数のテイラー展開と収束半径

実数関数について定義したテイラー展開を、複素関数についても定義していく。 テイラー展開 定義 複素関数\(f(z)\)は、点\(a\)を中心とする半径\(R\)の円およびその内部の領域で正則とする。 このとき、円の内部の点\(z_0\)について、次式が成立する。 $$f(z_0)=\sum_{n=0 […]

複素関数論

グルサの定理の導出と計算例

グルサ(Goursat)の定理 コーシーの積分公式は、次式で与えられた。 $$f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\oint_C\frac{f(z)}{z-z_0}dz$$ このままでは、分母がn乗の形になっている積分を計算することができない。この公式を拡張し、n乗に対応できるようにした式 […]

複素関数論

コーシーの積分公式の証明と例題3問

複素関数の積分で重要なコーシーの積分公式を学ぶ。 コーシーの積分公式 複素関数\(f(z)\)は開集合\(K\)上で正則関数とする。\(C\)を\(K\)に含まれる滑らかな閉曲線とし、\(D\)を\(C\)の内部の領域、\(D^e\)を\(C\)の外部の領域とする。 このとき、次が成り立つ。 $$\ […]

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複素関数の積分とコーシーの積分定理【理工数学】

複素関数の微分につづき、複素積分の積分を考えていく。 複素平面上にz軸はないので、複素関数の積分は経路Cに沿った線積分を行うことになる。 ベクトル解析の線積分と同様にして複素関数の積分を計算することができる。   複素関数の積分 z(t)=x(t)+iy(t)として、C∈Kとする。ただし、 […]

複素関数論

コーシー・リーマンの関係式の例題３問

コーシー・リーマンの関係式については以下の記事をご参照ください。 複素関数の微分可能性とコーシー・リーマンの関係式   以下の複素関数f(z)が微分可能であるか判別せよ。微分可能である場合、微分可能な領域も述べよ。 複素関数は、コーシー・リーマンの関係式を満たす点で微分可能であることを利用 […]

複素関数論

複素関数の微分可能性とコーシー・リーマンの関係式

複素関数の微分は、実数関数の微分と似た点も多い。しかし、微分可能性についてはより深い議論が必要になる。 ここでは、複素関数の微分可能性を判定する重要な関係式である、コーシー・リーマン(Cauchy-Riemann)の関係式を導く。 複素関数の微分 連続性 任意の\(\varepsilon>0\ […]

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複素数に関する基礎の復習とド・モアブルの定理【理工数学】

今回から、複素関数論を学んでいく。 別の記事(こちら)で既にみているが、複素数の基礎について今一度復習しておくことにする。 複素数の基本 虚数単位iを用いて、z=x+iyと表されるzを複素数と呼ぶ。x、yはそれぞれ次のようにかく。 $$x=Rez　，　y=Imz$$ x軸(実軸)とy軸(虚軸)でつく […]