理工数学

離散フーリエ変換の理論と計算【理工数学】

離散フーリエ変換 これまで、離散的な時刻tk=kΔt (k=0, ±1, ±2, …, ±∞) でサンプリングされた無限個のデータに対するフーリエ変換Gs(f)を考え、その性質について論じてきた。 しかし、実際にコンピュータ上で数値計算を行う場合、データは有限個である。このとき、フーリエ変換は連続関 […]

離散データのフーリエ変換とサンプリング定理(標本化定理)の導出【理工数学】

周期デルタ関数列とそのフーリエ変換 時刻tk=kΔt (k=0, ±1, ±2, …)にデルタ関数をもつ、周期デルタ関数列を次式で定義する。 $$\delta_{\Delta t}(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta(t-k\Delta t)$$   この […]

離散フーリエ変換(DFT)とサンプリング定理の概要

離散フーリエ変換 ここまで、フーリエ変換の数学的な理論について学んできた。 実際にフーリエ変換を応用する場合には、現実の信号を有限の時間で測定し、離散的なデータを元にコンピュータを用いて計算しなくてはならない。 これから、そのための手法である「離散フーリエ変換」について学んでいく。   サ […]

非周期関数のフーリエ変換～ローレンツ方程式とカオス【理工数学】

非周期関数のフーリエ変換 前回見たように、周期関数g(t)に対するフーリエ変換は、関数の周波数fとその整数倍の位置にデルタ関数が現れた。 フーリエ変換は信号を周期関数に分解する作用なので、フーリエ変換をデータ解析に応用する場合はこうした鋭いピークの位置、すなわち信号に特徴的な周波数を探すことが多い。 […]

三角関数のフーリエ変換

三角関数のフーリエ変換 これまで、フーリエ変換は信号\(g(t)\)を周期関数に分解するということを学んできた。 では、三角関数のように元々分解されている周期関数はどのようにフーリエ変換したらよいかを考えよう。 \(\delta\)関数 準備のため、\(\delta\)関数に関する以下の公式を導出し […]

パワースペクトルの例－白色ノイズとブラウン運動

白色ノイズ 白色雑音、ホワイトノイズとも呼ばれる。 白色ノイズは周波数によらず振幅が等しいノイズのことであり、自己相関係数\(C(t)\)がデルタ関数で表される。 $$C(t)=D\delta(t)$$ \(D\)はノイズの強さを表す量であり、\(C(t)\)は\(g(t)=\xi(t)\)として定 […]

パーシバルの定理の証明とパワースペクトルについて

パーシバル(Parseval)の定理 関数\(g(t)\)とそのフーリエ変換\(G(f)\)について、次式が成り立つ。 $$\int_{-\infty}^{\infty}|g(t)|^2dt=\int_{-\infty}^{\infty}|G(f)|^2df$$ 証明 \[ \begin{align […]

畳み込み積分のフーリエ変換の導出と応用

畳み込み積分とフーリエ変換 2つの関数\(g_1(t)、g_2(t)\)に対し、以下の積分を畳み込み積分という。 $$g_1(t)＊g_2(t)\equiv\int_{-\infty}^{\infty}g_1(t’)g_2(t-t’)dt’$$   \( […]

フーリエ変換の加算性・対称性と振幅・位相スペクトル

これ以降、フーリエ変換を記号\(\mathcal{F}\)で表すことにします。 すなわち、フーリエ変換および逆フーリエ変換は次のように記述されます。 $$\mathcal{F}[g(t)]=G(f)　：フーリエ変換$$ $$\mathcal{F}^{-1}[G(f)]=g(t)　：逆フーリエ変換$$ […]

フーリエ変換・逆フーリエ変換の定義と導出【理工数学】

フーリエ変換について学んでいきましょう。 フーリエ変換とフーリエ級数展開の違い 三角関数によるフーリエ級数展開(参照①)やこれを拡張した複素フーリエ級数展開(参照②)は、そもそも周期Tをもつ周期関数をcos(2πnt/T)とsin(2πnt/T)またはexp(i2πnt/T)を用いて級数展開するもの […]