理工数学

複素フーリエ級数展開式の導出と計算例

前回(フーリエ級数展開)に引き続き、複素関数の場合のフーリエ級数展開の式を学びます。 複素フーリエ級数展開 周期\(T\)を持つ複素関数\(g(t)\)のフーリエ級数展開およびフーリエ係数は次式で与えられる。 $$g(t)=\sum_{-\infty}^{\infty}c_ne^{i\frac{2\ […]

フーリエ級数展開式の導出と矩形波・鋸波のフーリエ係数の計算

フーリエ変換について学んでいく。 まずは、周期関数を簡単な三角関数の重ね合わせで表現するフーリエ級数展開から始めよう。 級数展開式の導出、そして矩形波と鋸波に対するフーリエ級数展開式を求めていく。 フーリエ級数展開 周期\(T\)の周期関数\(g(t)\)のフーリエ級数展開は、次式で与えられる。 $ […]

ストークスの定理の証明

グリーンの定理、ガウスの発散定理に続き、ストークスの定理を証明していきます。 ストークスの定理は、グリーンの定理を3次元に拡張した定理です。 ストークスの定理 \(xyz\)-空間内で、有限個の閉曲線を境界とする曲面\(S\)と、\(S\)を含むある領域で定義されたベクトル場\(\mathbf{A} […]

ガウスの発散定理の証明と物理的意味

前回のグリーンの定理に引き続き、ガウスの発散定理について学んでいきます。 ガウスの発散定理 \(V\)を閉曲線\(S\)で囲まれた有界な閉領域、\(\mathbf{A}\)は\(V\)を含むある開集合で定義された\(C^1\)級ベクトル場とすると $$\iint_S\mathbf{A}・\mathb […]

グリーンの定理の証明

今回から、ベクトル解析の肝である、積分に関する定理について学んでいきます。 まずはグリーンの定理からはじめ、次回からガウスの発散定理とストークスの定理を示していきます。 線積分や面積分、体積積分を書き換えることができるこれらの定理は、電磁気学をはじめ様々な分野で活用することになりますので、証明の流れ […]

線積分と面積分の定義と計算方法【理工数学】

前回はベクトルの基礎的な演算について学びました。 ベクトル解析①ベクトルの基礎・スカラー場とベクトル場の演算公式【理工数学】 今回は、線積分および面積分について学んでいきます。 線積分 C^1級曲線 $$C：\mathbf{r}=\mathbf{r}(t)　(\alpha\le t\le\beta) […]

ベクトル解析の基礎・スカラー場とベクトル場の演算公式

さて、今回からはベクトル解析について学んでいきたいと思います。 まず、ベクトルの外積について考えます。そのあと、スカラー場とベクトル場を結ぶ重要な演算である勾配(grad)・発散(div)・回転(rot)の計算方法について述べ、それらの間に成り立つ公式を与えていきます。 ベクトル解析は力学や電磁気学 […]

重積分による体積・曲面積の計算方法

重積分を用いて、体積や曲面の面積を計算することができます。 体積の定式化 空間における体積確定な点集合Vの体積|V|は $$|V|=\iiint_Vdxdydz$$ で与えられます。 特に、Vが平面\(x=a, x=b (a<b)\)の間にあるとき、 $$|V|=\int_a^b\left(\ […]

三重積分の計算ー円柱座標・極座標のヤコビアンと変数変換

重積分を空間での積分に拡張していきます。 三重積分 空間の直方体分割を考えることで、三重積分を定義することができます。 xyz-空間内の点集合V上の関数f(x, y, z)の三重積分を $$\iiint_Vf(x,y,z)dxdydz　または　\iiint_Vf(P)dxdydz$$ とかきます。 […]

ヤコビアンによる重積分の変数変換と計算例

重積分の計算方法その２では、変数変換について学びます。1変数のときよりも変換方法が複雑になります。 累次積分法についてはこちら　⇒　重積分の計算その１ 変数変換の準備 置換積分の公式 $$\int_a^bf(x)dx=\int_{\alpha}^{\beta}f(\phi(t))\phi'(t)dt […]