特殊関数である、ガンマ関数とベータ関数を定義し、その基本性質を学ぶ。
ガンマ関数
以下の式で定義される関数を、ガンマ関数と呼ぶ。
ガンマ関数は、階乗を整数以外にも拡張する関数である。
ガンマ関数の主な性質
- \(\Gamma(1)=1\)
- \(\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}\)
- \(\Gamma(\alpha+1)=\alpha\Gamma(\alpha) (\alpha>0)\)
- \(\Gamma(n+1)=n! (n\in\mathbb{N})\)
(証明)
①：
$$\Gamma(1)=\int_0^{\infty}e^{-x}dx=\left[-e^{-x}\right]_0^{\infty}=1$$
②：
置換積分(\(x=t^2，dx=2tdt\))を用いる。
\[
\begin{align*}
\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)&=\int_0^{\infty}x^{-\frac{1}{2}}e^{-x}dx \\
&=\int_0^{\infty}(t^2)^{-\frac{1}{2}}e^{-t^2}2tdt \\
&=2\int_0^{\infty}e^{-t^2}dt=\sqrt{\pi}
\end{align*}
\]
③：
部分積分を用いる。
\[
\begin{align*}
\Gamma(\alpha+1)&=\int_0^{\infty}x^{\alpha}e^{-x}dx \\
&=-\left[x^{\alpha}e^{-x}\right]_0^{\infty}+\alpha\int_0^{\infty}x^{\alpha-1}e^{-x}dx \\
&=\alpha\Gamma(\alpha)
\end{align*}
\]
④：
性質③を順に適用する。
(証明終)
αが負の場合、性質③を用いて中身を正にする。
二項係数の拡張
二項定理にガンマ関数を応用してみよう。
nは非負整数である。
この式で、nを任意の数αで置き換える。
$$(1+x)^{\alpha}={}_{\alpha}C_0+{}_{\alpha}C_1x+・・・+{}_{\alpha}C_{\alpha}x^{\alpha}$$
このとき、二項係数は次のように表される。
具体的に計算してみる。
(解)
$${}_{-\frac{1}{2}}C_3=\frac{\Gamma\left(-\frac{1}{2}+1\right)}{\Gamma\left(-\frac{1}{2}-3+1\right)3!}=\frac{\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)}{6\Gamma\left(-\frac{5}{2}\right)}$$
ここで
\[
\begin{align*}
\Gamma\left(-\frac{5}{2}\right)&=-\frac{2}{5}\Gamma\left(-\frac{3}{2}\right) \\
&=-\frac{2}{5}・\left(-\frac{2}{3}\right)\Gamma\left(-\frac{1}{2}\right) \\
&=\frac{4}{15}・(-2)\Gamma\left(\frac{1}{2}\right) \\
&=-\frac{8}{15}\sqrt{\pi}
\end{align*}
\]
したがって
$${}_{-\frac{1}{2}}C_3=-\frac{1・3・5~~~}{2・4・6~~~}=-\frac{5}{16}$$
ベータ関数
以下の式で定義される関数を、ベータ関数と呼ぶ。
$$B(m,n)=\int_0^1x^{m-1}(1-x)^{n-1}dx (m,n>0)$$
ベータ関数の主な性質
- \(B(m,n)=B(n,m)\) (対称性)
- \(B(m,n)=2\displaystyle{\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^{2m-1}\theta\cos^{2n-1}\theta d\theta}\) (積分表示)
- \(B(m,n)=\displaystyle{\frac{\Gamma(m)\Gamma(n)}{\Gamma(m+n)}}\)
(証明)
①：
\(u=1-x\)とおく。\(x=1-u、dx=-du\)より
\[
\begin{align*}
B(n,m)&=\int_0^1x^{n-1}(1-x)^{m-1}dx \\
&=\int_0^1(1-u)^{n-1}u^{m-1}du \\
&=B(m,n)
\end{align*}
\]
②：
\(x=\sin^2\theta\)とおく。\(dx=2\sin\theta\cos\theta d\theta\)より
\begin{align*}
B(m,n)&=\displaystyle{\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^{2m-2}\theta\cos^{2n-2}\theta・2\sin\theta\cos\theta d\theta} \\
&=2\displaystyle{\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^{2m-1}\theta\cos^{2n-1}\theta d\theta}
\end{align*}
\]
③：
ガンマ関数の定義式より
\begin{align*}
\Gamma(m)&=\int_0^{\infty}t^{m-1}e^{-t}dt \\
&=\int_0^{\infty}x^{2m-2}e^{-x^2}2xdx=2\int_0^{\infty}x^{2m-1}e^{-x^2}dx
\end{align*}
\]
同様に
$$\Gamma(n)=2\int_0^{\infty}y^{2m-1}e^{-y^2}dy$$
であるので、極座標変換を用いて
\begin{align*}
\Gamma(m)\Gamma(n)&=4\int_0^{\infty}\int_0^{\infty}x^{2m-1}y^{2m-1}e^{-(x^2+y^2)}dxdy \\
&=4\int_0^{\infty}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^{2m-1}\theta\cos^{2n-1}\theta r^{2(m+n)-2}e^{-r^2}rdrd\theta \\
&=\left(2\int_0^{\infty}r^{2(m+n)-1}e^{-r^2}dr\right)\left(\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^{2m-1}\theta\cos^{2n-1}\theta d\theta\right) \\
&=\Gamma(m+n)B(m,n)
\end{align*}
\]
したがって、
$$B(m,n)=\displaystyle{\frac{\Gamma(m)\Gamma(n)}{\Gamma(m+n)}}$$
(証明終)
積分計算への応用
ベータ関数とガンマ関数を用いて、積分計算をすることができる。
簡単な例題を見てみよう。
(解)
ベータ関数を用いて書き換える。
$$B\left(3,\frac{3}{2}\right)=\frac{\Gamma(3)\Gamma\left(\frac{3}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{9}{2}\right)}$$
ここで
$$\Gamma\left(\frac{9}{2}\right)=\frac{7}{2}\frac{5}{2}\frac{3}{2}\Gamma\left(\frac{3}{2}\right)$$
$$\Gamma(3)=2!$$
より
\[
\begin{align*}
B\left(3,\frac{3}{2}\right)&=\displaystyle{\frac{2!\Gamma\left(\frac{3}{2}\right)}{\frac{7}{2}\frac{5}{2}\frac{3}{2}\Gamma\left(\frac{3}{2}\right)}} \\
&=\frac{16}{105}
\end{align*}
\]
