ここまで点集合と点列、多変数関数の極限と連続性と準備をしてきました。
ここからようやく、多変数関数の偏微分について学んでいきます。
偏微分・偏導関数
定義
関数\(z=f(x, y)\)が点\(P_0(a, b)\)の近傍で定義されているとします。
\(x\)の関数\(f(x, b)\)が\(x=a\)において微分可能であるとき、\(f\)は\(P_0\)においてxに関して偏微分可能であるといいます。この微分係数を
$$\frac{\partial f}{\partial x}(a,b) または f_x(a,b)$$
とかき、これを点\((a, b)\)におけるxに関するfの偏微分係数といいます。
\[
\begin{align*}
f_x(a,b)&=\left. \frac{df(x,b)}{dx}\right|_{x=a} \\
&=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h,b)-f(a,b)}{h}
\end{align*}
\]
関数\(z=f(x, y)\)が領域\(D\)上の各点で\(x\)に関して偏微分可能であるとき、点\((x, y)\)における\(x\)に関する偏微分係数\(f_x(x, y)\)は\(D\)上の関数になります。これを\(x\)に関する\(z=f(x, y)\)の偏導関数とよび、以下のような記号で表します。
$$f_x，\frac{\partial f}{\partial x}，\frac{\partial z}{\partial x}，z_x$$
\(y\)に関しても同様にして偏微分係数\(f_y(a, b)\)や偏導関数\(f_y\)が定義されます。
偏導関数を求めることを、偏微分するといいます。
偏微分の計算例
平面全体で定義された関数
$$f(x,y)=x\sqrt{x^2+y^2}$$
を偏微分せよ。
(解)
(ⅰ) (x, y)≠(0, 0)のとき
$$\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}$$
(ⅱ) (x, y)=(0, 0)のとき
$$\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=\lim_{h\to0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}=\lim_{h\to0}|h|=0$$
$$\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=\lim_{k\to0}\frac{f(0,k)-f(0,0)}{k}=\lim_{h\to0}\frac{0}{k}=0$$
高階偏導関数
領域\(D\)の各点で\(f_x\)が存在するとき、\(f_{xx}=(f_x)_x\)や\(f_{xy}=(f_x)_y\)を考えることができます。あるいは\(f_y\)が存在するとき、\(f_{yx}=(f_y)_x\)や\(f_{yy}=(f_y)_y\)を考えることができます。
このような\(f_x\)や\(f_y\)の偏導関数を\(f\)の2階偏導関数といいます。2階以上の偏導関数を高階偏導関数とよびます。
\(f_{xx}，f_{xy}，f_{xxy}，…\)を
\(\frac{\partial^2f}{\partial x^2}，\frac{\partial^2f}{\partial y\partial x}\left(=\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)\right)，\frac{\partial^3f}{\partial y\partial x^2}，…\)とかく。
\(f\)が\(D\)上でn階までのあらゆる偏導関数をもち、それらすべてが\(D\)上で連続であるとき、\(f\)は\(D\)上で\(C^n\)級であるといいます。
2階偏微分の計算例
\[
f(x,y)=\begin{cases}
\frac{xy(x^2-y^2)}{x^2+y^2} & (x,y) \not =(0,0) \\
0 & (x,y) =(0,0)
\end{cases}
\]
に対して、\(f_{xy}(0,0)，f_{yx}(0,0)\)を求めよ。
(解)
同様に、
この例のように、\(f_{xy}\)と\(f_{yx}\)がともに存在しても両者が一致するとは限りません。
一致するための十分条件として次の定理が知られています。
シュワルツの定理
点\((a,b)\)の近傍で\(f_x、f_y、f_{xy}\)が存在し、\(f_{xy}\)が\((a,b)\)で連続ならば
\(f_{yx}(a,b)\)も存在して、\((a,b)\)で\(f_{xy}=f_{yx}\)となる。
(証明)
\(\phi(x,y)=f(x,y)-f(x,b)\)とおく。
十分に小さい\(h,k\)をとり、\(\phi(x,b+k)\)に平均値の定理を適用すると
\[
\begin{align*}
\phi(a+h,b+k)-\phi(a,b+k)&=h\phi_x(a+\theta h,b+k) (0<\theta<1) \\
&=h\{f_x(a+\theta h,b+k)-f_x(a+\theta h,b) \}
\end{align*}
\]
ここで、\(f_x(a+\theta h,y)\)に平均値の定理を適用して
\(\displaystyle{\lim_{k\to0}\frac{\phi(x,b+k)}{k}=f_y(x,b)}\)に注意して、
\[
\begin{align*}
f_{yx}(a,b)&=\lim_{h\to0}\frac{f_y(a+h,b)-f_y(a,b)}{h} \\
&=\lim_{h\to0}\lim_{k\to0}f_{xy}(a+\theta h,b+\theta’k) \\
&=\lim_{(h,k)\to(0,0)}f_{xy}(a+\theta h,b+\theta’k) \\
&=f_{xy}(a,b)
\end{align*}
\]
(証明終)
この定理より、次のことが言えます。
\(f(x,y)\)に対し\(f_{xy}、f_{yx}\)がともに存在し、少なくとも一方が連続であれば両者は一致する。
\(C^n\)級関数\(f(x,y)\)についてn回までの偏微分は微分の順序によらず、\(f\)のk階偏導関数(0≦k≦n)はすべて次の形に書き表されます。
$$\frac{\partial^k f}{\partial x^r\partial y^{k-r}} (0\le r\le k)$$
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