偏微分の基礎と偏導関数の計算例

微分積分学

ここまで点集合と点列、多変数関数の極限と連続性と準備をしてきました。

ここからようやく、多変数関数の偏微分について学んでいきます。

1 偏微分・偏導関数

偏微分・偏導関数

定義

関数$z=f(x, y)$が点$P_0(a, b)$の近傍で定義されているとします。

$x$の関数$f(x, b)$が$x=a$において微分可能であるとき、$f$は$P_0$においてxに関して偏微分可能であるといいます。この微分係数を

$$\frac{\partial f}{\partial x}(a,b)　または　f_x(a,b)$$

とかき、これを点$(a, b)$におけるxに関するfの偏微分係数といいます。

\[
\begin{align*}
f_x(a,b)&=\left. \frac{df(x,b)}{dx}\right|_{x=a} \\
&=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h,b)-f(a,b)}{h}
\end{align*}
\]

関数$z=f(x, y)$が領域$D$上の各点で$x$に関して偏微分可能であるとき、点$(x, y)$における$x$に関する偏微分係数$f_x(x, y)$は$D$上の関数になります。これを$x$に関する$z=f(x, y)$の偏導関数とよび、以下のような記号で表します。

$$f_x，\frac{\partial f}{\partial x}，\frac{\partial z}{\partial x}，z_x$$

$y$に関しても同様にして偏微分係数$f_y(a, b)$や偏導関数$f_y$が定義されます。

偏導関数を求めることを、偏微分するといいます。

偏微分の計算例

平面全体で定義された関数

$$f(x,y)=x\sqrt{x^2+y^2}$$

を偏微分せよ。

(解)

(ⅰ) (x, y)≠(0, 0)のとき

$$\frac{\partial f}{\partial x}=\sqrt{x^2+y^2}+x・\frac{2x}{2\sqrt{x^2+y^2}}=\frac{2x^2+y^2}{\sqrt{x^2+y^2}}$$

$$\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}$$

(ⅱ) (x, y)=(0, 0)のとき

$$\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=\lim_{h\to0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}=\lim_{h\to0}|h|=0$$

$$\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=\lim_{k\to0}\frac{f(0,k)-f(0,0)}{k}=\lim_{h\to0}\frac{0}{k}=0$$

高階偏導関数

領域$D$の各点で$f_x$が存在するとき、$f_{xx}=(f_x)_x$や$f_{xy}=(f_x)_y$を考えることができます。あるいは$f_y$が存在するとき、$f_{yx}=(f_y)_x$や$f_{yy}=(f_y)_y$を考えることができます。

このような$f_x$や$f_y$の偏導関数を$f$の2階偏導関数といいます。2階以上の偏導関数を高階偏導関数とよびます。

$f_{xx}，f_{xy}，f_{xxy}，…$を

$\frac{\partial^2f}{\partial x^2}，\frac{\partial^2f}{\partial y\partial x}\left(=\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)\right)，\frac{\partial^3f}{\partial y\partial x^2}，…$とかく。

$f$が$D$上でn階までのあらゆる偏導関数をもち、それらすべてが$D$上で連続であるとき、$f$は$D$上で$C^n$級であるといいます。

2階偏微分の計算例

\[
f(x,y)=\begin{cases}
\frac{xy(x^2-y^2)}{x^2+y^2} & (x,y) \not =(0,0) \\
0 & (x,y) =(0,0)
\end{cases}
\]

に対して、$f_{xy}(0,0)，f_{yx}(0,0)$を求めよ。

(解)

$$f_x(0,y)=\lim_{h\to0}\frac{f(h,y)-f(0,y)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{y(h^2-y^2)}{h^2+y^2}=-y$$

$$f_{xy}(0,0)=(f_x)_y(0,0)=\left. \frac{d}{dy}f_x(0,y)\right|_{y=0}=-1$$

同様に、

$$f_y(x,0)=\lim_{k\to0}\frac{f(x,k)-f(x,0)}{k}=\lim_{k\to0}\frac{x(x^2-k^2)}{x^2+k^2}=x$$

$$f_{yx}(0,0)=(f_y)_x(0,0)=\left. \frac{d}{dx}f_y(x,0)\right|_{x=0}=1$$

この例のように、$f_{xy}$と$f_{yx}$がともに存在しても両者が一致するとは限りません。

一致するための十分条件として次の定理が知られています。

シュワルツの定理

点$(a,b)$の近傍で$f_x、f_y、f_{xy}$が存在し、$f_{xy}$が$(a,b)$で連続ならば

$f_{yx}(a,b)$も存在して、$(a,b)$で$f_{xy}=f_{yx}$となる。

(証明)

$\phi(x,y)=f(x,y)-f(x,b)$とおく。

十分に小さい$h,k$をとり、$\phi(x,b+k)$に平均値の定理を適用すると

\[
\begin{align*}
\phi(a+h,b+k)-\phi(a,b+k)&=h\phi_x(a+\theta h,b+k)　(0<\theta<1) \\
&=h\{f_x(a+\theta h,b+k)-f_x(a+\theta h,b) \}
\end{align*}
\]

ここで、$f_x(a+\theta h,y)$に平均値の定理を適用して

$$\phi(a+h,b+k)-\phi(a,b+k)=hkf_{xy}(a+\theta h,b+\theta’k)　(0<\theta'<1)$$

$\displaystyle{\lim_{k\to0}\frac{\phi(x,b+k)}{k}=f_y(x,b)}$に注意して、

$$f_y(a+h,b)-f_y(a,b)=h\lim_{k\to0}f_{xy}(a+\theta h,b+\theta’k)$$

\[
\begin{align*}
f_{yx}(a,b)&=\lim_{h\to0}\frac{f_y(a+h,b)-f_y(a,b)}{h} \\
&=\lim_{h\to0}\lim_{k\to0}f_{xy}(a+\theta h,b+\theta’k) \\
&=\lim_{(h,k)\to(0,0)}f_{xy}(a+\theta h,b+\theta’k) \\
&=f_{xy}(a,b)
\end{align*}
\]

(証明終)

この定理より、次のことが言えます。

$f(x,y)$に対し$f_{xy}、f_{yx}$がともに存在し、少なくとも一方が連続であれば両者は一致する。

$C^n$級関数$f(x,y)$についてn回までの偏微分は微分の順序によらず、$f$のk階偏導関数(0≦k≦n)はすべて次の形に書き表されます。

$$\frac{\partial^k f}{\partial x^r\partial y^{k-r}}　(0\le r\le k)$$

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