合成関数の偏微分と多変数関数のテイラーの定理

微分積分学 $微分積分学　偏微分$

前回は偏微分の計算について学びました。

ここから、理工系の分野でよく用いられる全微分の概念からチェインルール、テイラーの定理について学んでいきます。

1 全微分
- 1.1 定理：偏導関数と全微分可能
2 合成関数の微分
- 2.1 定理
- 2.2 連鎖公式(チェインルール)
3 テイラーの定理

全微分

以下、$f(x, y)$は点$(a, b)$の近傍で定義されているとします。

適当な定数$A、B$に対して

$$\Delta f=f(a+h,b+k)-f(a,b)=Ah+Bk+\varepsilon\sqrt{h^2+k^2}$$

とおくとき、$\displaystyle{\lim_{(h,k)\to(0,0)}\varepsilon=0}$であるならば、$fは(a,b)で全微分可能$である、という。

このとき、$\displaystyle{\lim_{(h,k)\to(0,0)}\Delta f=0}$なので、$fは(a,b)$で連続となる。

$k=0$とおき$h\to0$とすれば、$f_x(a,b)=A$を得る。同様にして、$f_y(a,b)=B$を得る。

よって、全微分可能ならば、偏微分可能である。

定理：偏導関数と全微分可能

$f_x、f_y$が存在して、それらのいずれかが連続であるならば、$f$は全微分可能である。

特に、$C^1$級関数は全微分可能である。

$f(x, y)$を点$(a, b)$で全微分可能とします。$h=\Delta x、k=\Delta y$とおくと、

$$\Delta f=f_x(a,b)\Delta x+f_y(a,b)\Delta y+\varepsilon\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}$$

となり、$\Delta x、\Delta y\to0$のとき$\varepsilon\to0$です。

よって、$\Delta x、\Delta y\to0$のとき、$\Delta f-\{f_x(a,b)\Delta x+f_y(a,b)\Delta y\}$は$\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}$より高位の無限小となります。

したがって、$|\Delta x|、|\Delta y|$がともに十分小さいとき、次の近似式

$$\Delta f\simeq f_x(a,b)\Delta x+f_y(a,b)\Delta y$$

が成り立ちます。近似の精度は$|\Delta x|、|\Delta y|$が小さいほどよくなります。

$\Delta x、\Delta y\to0$を$dx、dy$に替えてできる形式

$$f_x(a,b)dx+f_y(a,b)dy$$

を、$fの(a, b)$における全微分とよび、$df$で表します。

合成関数の微分

定理

$z=f(x,y)$は領域$D$で全微分可能とする。$x=x(t)、y=y(t)$は区間$I$で微分可能で、各$t$に対応する$(x(t),y(t))$は$D$に属するとする。

このとき、合成関数$z=f(x(t),y(t))$は$I$上で微分可能であり、次式が成り立つ。

\[
\begin{align*}
\frac{dz}{dt}&=f_x(x(t),y(t))x'(t)+f_y(x(t),y(t))y'(t) \\
&=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{dy}{dt}
\end{align*}
\]

(証明)

$$\Delta x=x(t+\Delta t)-x(t)=(x'(t)+\varepsilon_1)\Delta t$$

$$\Delta y=y(t+\Delta t)-y(t)=(y'(t)+\varepsilon_2)\Delta t$$

とおくと、$\Delta t\to0$のとき$\varepsilon_1、\varepsilon_2\to0$

$$\Delta f=f_x(a,b)\Delta x+f_y(a,b)\Delta y+\varepsilon\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}$$

の$f_x(a,b)\Delta x+f_y(a,b)\Delta y$に代入して

$$\frac{\Delta z}{\Delta t}-f_xx'(t)-f_yy'(t)=f_x\varepsilon_1+f_y\varepsilon_2+\frac{\varepsilon}{\Delta t}\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}$$

ここで、$\Delta t\to0$のとき、$\Delta x、\Delta y\to0$なので、$\varepsilon\to0$

また、$\left(\frac{\Delta x}{\Delta t}\right)^2+\left(\frac{\Delta y}{\Delta t}\right)^2\to x’^2(t)+y’^2(t)$

したがって、上式の右辺は0に収束する。ゆえに

$$\frac{dz}{dt}=\lim_{\Delta t\to0}\frac{\Delta z}{\Delta t}=f_xx'(t)+f_yy'(t)$$

(証明終)

連鎖公式(チェインルール)

多変数の合成関数を偏微分するときに用いられる重要なルールです。

$z=f(x,y)$は領域$D$で全微分可能とする。$u、v$の関数$x=x(u,v)$、$y=y(u,v)$がともに領域$\Omega$で偏微分可能で、$\Omega$内の各点$(u,v)$に対して点$(x(u,v),y(u,v))$は$D$に属するとする。

このとき、合成関数$z=f(x(u,v),y(u,v))$について次式が成立する。

$$\frac{\partial z}{\partial u}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial u}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial u}$$

$$\frac{\partial z}{\partial v}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial v}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial v}$$

証明は上記定理と同様です。

テイラーの定理

$z=f(x,y)$が領域$D$で$C^n$級で、線分$\{(a+ht, b+kt)|0\le t\le1 \}$は$D$に含まれているとします。

このとき、$z=f(a+ht, b+kt)　(0≦t≦1)$に対して

$$\frac{d^nz}{dt^n}=\sum_{r=0}^n {}_nC_rh^{n-r}k^r\frac{\partial^n f}{\partial x^{n-r}\partial y^r}(a+ht,b+kt)$$

が成り立ちます。この右辺を形式的に

$$\left( h\frac{\partial}{\partial x}+k\frac{\partial}{\partial y} \right)^nf(a+ht,b+kt)$$

と書きます。この式は帰納的に示されます。

$f(x,y)$は領域$D$上で$C^n(n\ge1)$級とし、線分$\{(a+ht, b+kt)|0\le t\le1 \}$は$D$に含まれるとする。このとき

\[
\begin{align*}
f(a+h,b+k)&=f(a,b)+\left( h\frac{\partial}{\partial x}+k\frac{\partial}{\partial y} \right)f(a,b)+…+\frac{1}{r!}\left( h\frac{\partial}{\partial x}+k\frac{\partial}{\partial y} \right)^rf(a,b) \\
&~~~~+…+\frac{1}{(n-1)!}\left( h\frac{\partial}{\partial x}+k\frac{\partial}{\partial y} \right)^{n-1}f(a,b)+\frac{1}{n!}\left( h\frac{\partial}{\partial x}+k\frac{\partial}{\partial y} \right)^nf(a+\theta h,b+\theta k)
\end{align*}
\]

をみたす$\theta　(0\le\theta\le1)$が存在する。

(証明)

$z=f(a+ht, b+kt)$は[0,1]で$C^n$級である。

よって、1変数のテイラーの定理から、ある$\theta　(0\le\theta\le1)$が存在して、

$$z(1)=z(0)+z'(0)+…+\frac{1}{(n-1)!}z^{(n-1)}(0)+\frac{1}{n!}z^{(n)}(\theta)$$

が成り立つ。

$$z^{(m)}=\left( h\frac{\partial}{\partial x}+k\frac{\partial}{\partial y} \right)^mf(a+ht, b+kt)　(0\le m\le n)$$

から、定理を得る。

(証明終)

1変数のテイラーの定理については以下の記事をご参照ください。

テイラーの定理の証明と応用

[mathjax] 前回は、ロルの定理と平均値の定理について学びました。今回は、関数を級数の形で表現する方法(テイラー展開)を導いていくための準備として、テイラーの定理(Taylor's theorem)とその証明について紹介[…]