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複素速度ポテンシャルと流れ場解析の計算例

複素速度ポテンシャルとは

速度ポテンシャルφ(x, y)と流れ関数ψ(x, y)を用いて作られる次の関数\(F(z)\)を、複素速度ポテンシャルという。

$$F(z)=\phi(x,y)+i\psi(x,y)$$

複素関数の微分について、

\[
\begin{align*}
\frac{dF(z)}{dz} &=\lim_{\Delta x\to0}\left(\frac{\phi(x+\Delta x)-\phi(x)}{\Delta x}+i\frac{\psi(x+\Delta x)-\psi(x)}{\Delta x}\right) \\
&=\lim_{\Delta y\to0}\left(\frac{\phi(y+\Delta y)-\phi(y)}{i\Delta y}+i\frac{\psi(y+\Delta y)-\psi(y)}{i\Delta y}\right)
\end{align*}
\]

が成立することから、

$$\frac{dF(z)}{dz}=\frac{\partial\phi}{\partial x}+i\frac{\partial\psi}{\partial x}=-i\frac{\partial\phi}{\partial y}+\frac{\partial\psi}{\partial y}$$

これは、コーシー・リーマンの関係式そのものである。

 

結局、\(F(z)\)の微分は

$$\frac{dF(z)}{dz}=u-iv$$

となる。これを、共役複素速度という。

 

極座標系の場合、

\[
\begin{align*}
C_r-iC_{\theta}&=(u\cos\theta+v\sin\theta)-i(-u\sin\theta+v\cos\theta) \\
&=u(\cos\theta+i\sin\theta)-iv(\cos\theta+i\sin\theta) \\
&=e^{i\theta}(u-iv)
\end{align*}
\]

$$u-iv=e^{-i\theta}(C_r-iC_{\theta})$$

 

各種流れ場の複素速度ポテンシャル

いくつかの代表的な流れ場について、複素速度ポテンシャルを計算してみよう。

(1)一様な平行流

\[
\begin{cases}
u=U \\
v=0
\end{cases}
\]

すなわち

\[
\begin{cases}
\frac{\partial\phi}{\partial x}=\frac{\partial\psi}{\partial y}=U \\
\frac{\partial\phi}{\partial y}=-\frac{\partial\psi}{\partial x}=0
\end{cases}
\]

よって、

$$\phi=Ux , \psi=Uy$$

したがって、複素速度ポテンシャルは

$$F(z)=\phi+i\psi=U(x+iy)=Uz$$

 

(別解)

$$\frac{dF(z)}{dz}=u-iv=U$$

$$F(z)=Uz$$

(2)吹き出し

ある点からqの吹き出しがある場合を考える。

吹き出し量qは半径方向への流量を考えることで、

$$(2\pi r)・C_r=q$$

$$C_r=\frac{q}{2\pi r}$$

よって、

\[
\begin{cases}
C_r=\frac{q}{2\pi r} \\
C_{\theta}=0
\end{cases}
\]

\[
\begin{cases}
\phi=\frac{q}{2\pi}\ln{r} \\
\psi=\frac{q}{2\pi}\theta
\end{cases}
\]

したがって、

$$F(z)=\frac{q}{2\pi}(\ln{r}+\theta)=\frac{q}{2\pi}\ln{(re^{i\theta})}=\frac{q}{2\pi}\ln{z}$$

 

(別解)

$$\frac{dF(z)}{dz}=u-iv=e^{-i\theta}(C_r-iC_{\theta})=\frac{q}{2\pi}・\frac{1}{re^{i\theta}}=\frac{q}{2\pi z}$$

$$F(z)=\frac{q}{2\pi}\ln{z}$$

(3)流体の円運動

円運動については、循環Γを用いる。

\(\mathbf{U}=(C_r, C_{\theta})、d\mathbf{l}=(dr, rd\theta)、C_r=0\)より、

$$\Gamma=\oint\mathbf{U}・d\mathbf{l}=\int_{0}^{2\pi}C_{\theta}・rd\theta=2\pi rC_{\theta}$$

\[
\begin{cases}
C_r=0 \\
C_{\theta}=\frac{\Gamma}{2\pi r}
\end{cases}
\]

\[
\begin{cases}
C_r=\frac{1}{r}\frac{\partial\psi}{\partial \theta}=\frac{\partial\phi}{\partial r} \\
C_{\theta}=-\frac{\partial\psi}{\partial r}=\frac{1}{r}\frac{\partial\phi}{\partial \theta}
\end{cases}
\]

よって、

$$\phi=\frac{\Gamma\theta}{2\pi} , \psi=-\frac{\Gamma}{2\pi}\ln{r}$$

となるので

$$F(z)=\phi+i\psi=-\frac{\Gamma\theta}{2\pi}(\ln{r}+i\theta)=-\frac{\Gamma\theta}{2\pi}\ln{z}$$

 

(別解)

$$\frac{dF(z)}{dz}=u-iv=e^{-i\theta}(C_r-iC_{\theta})=-\frac{\Gamma i}{2\pi re^{i\theta}}=-\frac{\Gamma i}{2\pi z}$$

$$F(z)=-\frac{\Gamma i}{2\pi}\ln{z}$$

(4)吹き出しと吸い込み

\(z=-a\)に吹き出し(+q)、\(z=a\)に吸い込み(-q)があるとする。

それぞれの複素速度ポテンシャルは、(2)吹き出しの項で求めた式から

\[
\begin{cases}
F_1(z)=\frac{q}{2\pi}\ln{(z+a)} \\
F_2(z)=-\frac{q}{2\pi}\ln{(z-a)}
\end{cases}
\]

重ね合わせの原理より、

$$F(z)=F_1(z)+F_2(z)$$

が成り立つ。したがって、

$$F(z)=\frac{q}{2\pi}\ln{(z+a)}-\frac{q}{2\pi}\ln{(z-a)}=\frac{q}{2\pi}\ln{\frac{z+a}{z-a}}$$

 

ここで、上図のように極座標を取ると

$$z+a=r_1e^{i\theta_1} , z-a=r_2e^{i\theta_2}$$

\[
\begin{align*}
F(z)&=\frac{q}{2\pi}\ln\frac{r_1e^{i\theta_1}}{r_2e^{i\theta_2}} \\
&=\frac{q}{2\pi}\ln\frac{r_1}{r_2}+i\frac{q}{2\pi}\ln(\theta_1-\theta_2)=\phi+i\psi
\end{align*}
\]

等ポテンシャル線は、\(\phi=\phi_0\)のときで、\(r_1/r_2=一定\)より

$$\left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2=\frac{(x+a)^2+y^2}{(x-a)^2+y^2}=k(=const)$$

整理すると、

$$\left(x-a・\frac{k+1}{k-1}\right)^2+y^2=a^2\left[\left(\frac{k+1}{k-1}\right)^2-1\right]$$

等ポテンシャル線は、x軸上に中心を持つ円群である。

一方、流線は\(\psi=\psi_0\)のときで、\(\theta_1-\theta_2=一定\)より

x=±aを通り、y軸上に中心を持つ円群である。

(5)2重吹き出し

(4)の\(F(z)\)について、マクローリン展開する。

$$F(z)=\frac{q}{2\pi}\ln{\frac{z+a}{z-a}}=\frac{q}{2\pi}\ln{\frac{1+\frac{a}{z}}{1-\frac{a}{z}}}$$

$$\ln{(1+x)}=x-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{4}x^4+… (マクローリン展開)$$

より

\[
\begin{align*}
F(z)&=\frac{q}{2\pi}\left[\frac{a}{z}+\frac{a}{z}-\frac{1}{2}\left(\frac{a}{z}\right)^2+\frac{1}{2}\left(\frac{a}{z}\right)^2+\frac{1}{3}\left(\frac{a}{z}\right)^3-\frac{1}{3}\left(\frac{a}{z}\right)^3-…\right] \\
&=\frac{q}{2\pi}\frac{2a}{z}
\end{align*}
\]

この式が成立するのは、aが非常に小さいとき、すなわち吹き出し点と吸い込み点がほぼ一致するときである。

このとき、

$$F(z)=\frac{2aq}{2\pi z}=\frac{m}{2\pi z}=\frac{m}{2\pi}・\frac{1}{x+iy}=\frac{m}{2\pi}\left(\frac{x}{x^2+y^2}-i\frac{y}{x^2+y^2}\right)$$

$$\phi=\frac{m}{2\pi}\frac{x}{x^2+y^2} , \psi-\frac{m}{2\pi}\frac{y}{x^2+y^2}$$

となる。

等ポテンシャル線はx軸上に中心を持つ円群、流線はy軸上に中心を持つ円群となり、流れは原点から出て原点に戻るイメージである。

このとき、原点を2重吹き出し点mを2重吹き出しの強さという。

(6)平行流と吹き出し

重ね合わせの原理より、

$$F(z)=Uz+\frac{q}{2\pi}\ln{z}$$

$$\frac{dF(z)}{dz}=U+\frac{q}{2\pi}\frac{1}{z}=U+\frac{q}{2\pi}\frac{x-iy}{x^2+y^2}=U+\frac{q}{2\pi}\frac{x}{x^2+y^2}-i\left(\frac{q}{2\pi}\frac{y}{x^2+y^2}\right)$$

\[
\begin{cases}
u=U+\frac{q}{2\pi}\frac{x}{x^2+y^2} \\
v=\frac{q}{2\pi}\frac{y}{x^2+y^2}
\end{cases}
\]

 

ここで、u=v=0となる点のことを、よどみ点と呼ぶ。

今回の場合、

$$U+\frac{q}{2\pi}\frac{x}{x^2+y^2}=\frac{q}{2\pi}\frac{y}{x^2+y^2}=0$$

から、よどみ点は

$$\left(-\frac{q}{2\pi U},0\right)$$

 

まとめページ

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