流線の方程式と速度ポテンシャル・流れ関数

流線

流線とは、流体中の1つの粒子に着目したとき、粒子の動く軌跡のことである。

別の表現をすると、流れ場中においてある曲線上の各点における接線方向と、その点での流速ベクトルの方向とが一致するとき、その曲線を流線と呼ぶ。

 

流線上の微小要素\((dx, dy)\)における流速を\((u, v)\)とすると、平行であることから

$$\frac{dx}{u}=\frac{dy}{v}$$

すなわち、二次元流の流線の方程式は

$$vdx-udy=0$$

である。この式は、圧縮・非圧縮や粘性・非粘性に関わらず成立する。

 

流線の例

非圧縮性流体の定常な二次元流において、\(u、v\)がそれぞれ\(x、y\)に比例する場合の流線を求めよ。

(解)

連続方程式より、\(u=kx、v=-ky(k:定数)\)と書ける。

流線の方程式より、

$$\frac{dx}{kx}=-\frac{dy}{ky}$$

$$\ln|x|=-\ln|y|+C$$

$$xy=(一定)$$

流線は双曲線を描く。

 

速度ポテンシャル

非回転流れに対し、以下の関係式を満たす関数φが存在する。

$$u=\frac{\partial\phi}{\partial x} , v=\frac{\partial\phi}{\partial y}$$

このφを、速度ポテンシャルと呼ぶ。

 

連続方程式に代入すると、

$$\frac{\partial^2\phi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2\phi}{\partial y^2}=0$$

ラプラス方程式を得る。

 

流れ関数

ある関数ψが

$$\frac{\partial\psi}{\partial x}=-v , \frac{\partial\psi}{\partial y}=u$$

を満たすとき、この関数を流れ関数と呼ぶ。これは回転流においても存在する。

 

ψ=constの全微分をとると、

$$d\psi=\frac{\partial\psi}{\partial x}dx+\frac{\partial\psi}{\partial y}dy=0$$

となり、これを流線の方程式と比較すると、ψは上記の流れ関数の定義そのものになっている。

すなわち、ψ=(一定)は流線を表す。

 

等ポテンシャル線と流線の関係

速度ポテンシャルφ=constの曲線を等ポテンシャル線と呼ぶ。

流れ関数ψ=constの曲線を流線と呼ぶ。

非回転流では、速度ポテンシャルφと流れ関数ψがともにラプラス方程式を満たし、

$$u=\frac{\partial\phi}{\partial x}=\frac{\partial\psi}{\partial y} , v=\frac{\partial\phi}{\partial y}=-\frac{\partial\psi}{\partial x}$$

が成立する。これは、コーシー・リーマンの関係を満たし、φとψの直交性を表す。

 

(直交性の証明)

φ=const、ψ=constの法線ベクトルは、それぞれ

$$grad\phi=\left(\frac{\partial\phi}{\partial x},\frac{\partial\phi}{\partial y}\right)$$

$$grad\psi=\left(\frac{\partial\psi}{\partial x},\frac{\partial\psi}{\partial y}\right)$$

である。これらの内積を計算すると、

\[
\begin{align*}
grad\phi・grad\psi &=\frac{\partial\phi}{\partial x}\frac{\partial\psi}{\partial x}+\frac{\partial\phi}{\partial y}\frac{\partial\psi}{\partial y} \\
& =\frac{\partial\phi}{\partial x}\left(-\frac{\partial\phi}{\partial y}\right)+\frac{\partial\phi}{\partial y}\frac{\partial\phi}{\partial x} \\
& =0
\end{align*}
\]

となり、2つの法線ベクトルは直交している。

 

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