極座標系における速度ポテンシャルおよび流れ関数を導出せよ。
(解)
直交座標系での速度を\((u, v)\)、極座標系での速度を\((C_r, C_\theta)\)とする。
座標回転により、
\[
\left[\begin{array}{c}
C_r\\
C_{\theta}
\end{array}\right]
=\left[\begin{array}{rrr}
\cos\theta & \sin\theta\\
-\sin\theta & \cos\theta
\end{array}\right]
\left[\begin{array}{c}
u\\
v
\end{array}\right]
=\left[\begin{array}{c}
u\cos\theta+v\sin\theta\\
-u\sin\theta+v\cos\theta
\end{array}\right]
\]
\[
\begin{cases}
x=r\cos\theta \\
y=r\sin\theta
\end{cases}
\]
の関係が成り立つ。
まず、速度ポテンシャルについて
\[
\begin{align*}
\frac{\partial\phi}{\partial r} &=\frac{\partial\phi}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial r}+\frac{\partial\phi}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial r} \\
&=u\cos\theta+v\sin\theta=C_r\
\end{align*}
\]
\[
\begin{align*}
\frac{\partial\phi}{\partial\theta} &=\frac{\partial\phi}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial\theta}+\frac{\partial\phi}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial\theta} \\
&=u(-r\sin\theta)+v(r\cos\theta)=rC_{\theta}\
\end{align*}
\]
次に、流れ関数について
\[
\begin{align*}
\frac{\partial\psi}{\partial r} &=\frac{\partial\psi}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial r}+\frac{\partial\psi}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial r} \\
&=-v\cos\theta+u\sin\theta=-C_{\theta}\
\end{align*}
\]
\[
\begin{align*}
\frac{\partial\psi}{\partial\theta} &=\frac{\partial\psi}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial\theta}+\frac{\partial\psi}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial\theta} \\
&=-v(-r\sin\theta)+u(r\cos\theta)=rC_r\
\end{align*}
\]
以上まとめると
極座標の速度ポテンシャル
\[
\begin{cases}
C_r=\frac{\partial\phi}{\partial r} \\
C_{\theta}=\frac{1}{r}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}
\end{cases}
\]
極座標の流れ関数
\[
\begin{cases}
C_r=\frac{1}{r}\frac{\partial\psi}{\partial\theta} \\
C_{\theta}=-\frac{\partial\psi}{\partial r}
\end{cases}
\]
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